Proszę o pomoc z rozwiązaniem tego równania nawet nie wiem od czego zacząć
Wyznaczyć całkę ogólna równania:
\(\displaystyle{ x-3y+2+(3x-y-2) \frac{dy}{dx} = 0}\)
Wyznacz całkę ogólna
-
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 5 lip 2023, o 15:55
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 25
- Podziękował: 1 raz
Wyznacz całkę ogólna
Ostatnio zmieniony 5 lip 2023, o 16:02 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm.
Powód: Brak LaTeXa - zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: Wyznacz całkę ogólna
Spróbuj sprowadzić najpierw do równania jednorodnego a później do równania o rozdzielonych zmiennych
Przydatne będzie rozwiązanie pewnego układu równań liniowych aby uzyskać podstawienie sprowadzające powyższe równanie
do równania jednorodnego
Przydatne będzie rozwiązanie pewnego układu równań liniowych aby uzyskać podstawienie sprowadzające powyższe równanie
do równania jednorodnego
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8587
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: Wyznacz całkę ogólna
Można tak:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}= \frac{-x+3y-2}{3x-y-2} \\
\frac{dy}{dx}= \frac{-(x-1)+3(y-1)}{3(x-1)-(y-1)}\\
(u=x-1) \wedge (v=y-1) \\
\frac{dv}{du}= \frac{-u+3v}{3u-v}\\
\frac{dv}{du}= \frac{-1+3 \frac{v}{u} }{3- \frac{v}{u} }\\t= \frac{v}{u} \\
t+u \frac{dt}{du}= \frac{-1-3t}{3-t}
}\)
Pozostaje rozwiązać równanie typu zmienne rozdzielone i wrócić z podstawieniami do x i y.
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}= \frac{-x+3y-2}{3x-y-2} \\
\frac{dy}{dx}= \frac{-(x-1)+3(y-1)}{3(x-1)-(y-1)}\\
(u=x-1) \wedge (v=y-1) \\
\frac{dv}{du}= \frac{-u+3v}{3u-v}\\
\frac{dv}{du}= \frac{-1+3 \frac{v}{u} }{3- \frac{v}{u} }\\t= \frac{v}{u} \\
t+u \frac{dt}{du}= \frac{-1-3t}{3-t}
}\)
Pozostaje rozwiązać równanie typu zmienne rozdzielone i wrócić z podstawieniami do x i y.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: Wyznacz całkę ogólna
Na ogół to jednak trzeba będzie rozważyć dwa przypadki i rozwiązać układ równań liniowych
\(\displaystyle{ \left( a_{1}x+b_{1}y+c_{1}\right)+\left( a_{2}x+b_{2}y+c_{2}\right)\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=0\\
\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=-\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}\\
\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=-\frac{a_{1}\left( x- \alpha \right)+b_{1}\left( y - \beta \right)+a_{1} \alpha +b_{1} \beta +c_{1} }{a_{2}\left( x- \alpha \right)+b_{2}\left(y- \beta \right)+a_{2} \alpha +b_{2} \beta +c_{2} }\\
\begin{cases} a_{1} \alpha +b_{1} \beta +c_{1}=0\\a_{2} \alpha +b_{2} \beta +c_{2}=0 \end{cases} \\
\begin{cases} a_{1} \alpha + b_{1} \beta = -c_{1} \\ a_{2} \alpha +b_{2} \beta = -c_{2} \end{cases}
}\)
\(\displaystyle{
\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2}&b_{2} \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix} -c_{1} \\ -c_{2} \end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} = \frac{1}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}} \begin{bmatrix} b_{2} & -b_{1}\\-a_{2}& a_{1} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -c_{1} \\ -c_{2} \end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} = \frac{1}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}} \begin{bmatrix} -b_{2}c_{1} + b_{1}c_{2} \\ a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2} \end{bmatrix}
}\)
Dodano po 1 godzinie 4 minutach 4 sekundach:
Kerajs wątpie czy z twojego rozwiązania będzie wiedziała np skąd się wzięły te jedynki
\(\displaystyle{ \left( a_{1}x+b_{1}y+c_{1}\right)+\left( a_{2}x+b_{2}y+c_{2}\right)\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=0\\
\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=-\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}\\
\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=-\frac{a_{1}\left( x- \alpha \right)+b_{1}\left( y - \beta \right)+a_{1} \alpha +b_{1} \beta +c_{1} }{a_{2}\left( x- \alpha \right)+b_{2}\left(y- \beta \right)+a_{2} \alpha +b_{2} \beta +c_{2} }\\
\begin{cases} a_{1} \alpha +b_{1} \beta +c_{1}=0\\a_{2} \alpha +b_{2} \beta +c_{2}=0 \end{cases} \\
\begin{cases} a_{1} \alpha + b_{1} \beta = -c_{1} \\ a_{2} \alpha +b_{2} \beta = -c_{2} \end{cases}
}\)
\(\displaystyle{
\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2}&b_{2} \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix} -c_{1} \\ -c_{2} \end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} = \frac{1}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}} \begin{bmatrix} b_{2} & -b_{1}\\-a_{2}& a_{1} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -c_{1} \\ -c_{2} \end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} = \frac{1}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}} \begin{bmatrix} -b_{2}c_{1} + b_{1}c_{2} \\ a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2} \end{bmatrix}
}\)
Dodano po 1 godzinie 4 minutach 4 sekundach:
Kerajs wątpie czy z twojego rozwiązania będzie wiedziała np skąd się wzięły te jedynki