Matematyka.pl

Proszę o pomoc z rozwiązaniem tego równania nawet nie wiem od czego zacząć

Wyznaczyć całkę ogólna równania:

\(\displaystyle{ x-3y+2+(3x-y-2) \frac{dy}{dx} = 0}\)

Spróbuj sprowadzić najpierw do równania jednorodnego a później do równania o rozdzielonych zmiennych
Przydatne będzie rozwiązanie pewnego układu równań liniowych aby uzyskać podstawienie sprowadzające powyższe równanie
do równania jednorodnego

Można tak:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}= \frac{-x+3y-2}{3x-y-2} \\

\frac{dy}{dx}= \frac{-(x-1)+3(y-1)}{3(x-1)-(y-1)}\\
(u=x-1) \wedge (v=y-1) \\
\frac{dv}{du}= \frac{-u+3v}{3u-v}\\
\frac{dv}{du}= \frac{-1+3 \frac{v}{u} }{3- \frac{v}{u} }\\t= \frac{v}{u} \\
t+u \frac{dt}{du}= \frac{-1-3t}{3-t}
}\)
Pozostaje rozwiązać równanie typu zmienne rozdzielone i wrócić z podstawieniami do x i y.

Na ogół to jednak trzeba będzie rozważyć dwa przypadki i rozwiązać układ równań liniowych

\(\displaystyle{ \left( a_{1}x+b_{1}y+c_{1}\right)+\left( a_{2}x+b_{2}y+c_{2}\right)\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=0\\
\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=-\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}\\
\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=-\frac{a_{1}\left( x- \alpha \right)+b_{1}\left( y - \beta \right)+a_{1} \alpha +b_{1} \beta +c_{1} }{a_{2}\left( x- \alpha \right)+b_{2}\left(y- \beta \right)+a_{2} \alpha +b_{2} \beta +c_{2} }\\
\begin{cases} a_{1} \alpha +b_{1} \beta +c_{1}=0\\a_{2} \alpha +b_{2} \beta +c_{2}=0 \end{cases} \\
\begin{cases} a_{1} \alpha + b_{1} \beta = -c_{1} \\ a_{2} \alpha +b_{2} \beta = -c_{2} \end{cases}
}\)

\(\displaystyle{
\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2}&b_{2} \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix} -c_{1} \\ -c_{2} \end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} = \frac{1}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}} \begin{bmatrix} b_{2} & -b_{1}\\-a_{2}& a_{1} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -c_{1} \\ -c_{2} \end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} = \frac{1}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}} \begin{bmatrix} -b_{2}c_{1} + b_{1}c_{2} \\ a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2} \end{bmatrix}
}\)

Dodano po 1 godzinie 4 minutach 4 sekundach:
Kerajs wątpie czy z twojego rozwiązania będzie wiedziała np skąd się wzięły te jedynki