Matematyka.pl

Mam takie w miarę proste równanie do rozwiązania:

\(\displaystyle{ \[\frac{dy}{dx}-3x=x\]}\)

Najpierw równanie uproszczone:

\(\displaystyle{ \[\frac{dy}{dx}-3x=0\]}\)

\(\displaystyle{ \[\int{\frac{dy}{3y}}=\int{\frac{dx}{x}}\]}\)

\(\displaystyle{ \[\frac{1}{3}\ln |y|=\ln |x|+\ln |C|\]}\)

No i tutaj w rozwiązaniu w książce mam napisane, że otrzymujemy całkę ogólną równania uproszczonego

\(\displaystyle{ \[y=C{{x}^{3}}\]}\)

Nie wiem czemu to C nie jest w trzeciej potędze. Mój tok rozumowania jest następujący

\(\displaystyle{ \begin{array}{l}
\ln |y{|^{{\textstyle{1 \over 3}}}} = \ln |x| + \ln |C| \\
{e^{\ln |x| + \ln |C|}} = |y{|^{{\textstyle{1 \over 3}}}} \\
{e^{\ln |x|}}{e^{\ln |C|}} = |y{|^{{\textstyle{1 \over 3}}}} \\
|CX| = |y{|^{{\textstyle{1 \over 3}}}} \\
{(|CX|)^3} = |y| \\
\end{array}}\)

Czyli podsumowując mam dwa pytania:
1) Dlaczego to C powinno/nie powinno być w trzeciej potędze?
2) Czy (i dlaczego) można tutaj opuścić wartość bezwzględną (jak spotykam w książkach)

To nie jest równanie uproszczone, a równanie jednorodne. Taka jest powszechnie używana nazwa.
Co do pierwszego: dlatego, że \(\displaystyle{ C}\) jest stałą. I ta stała wyznaczana jest z warunków początkowych równania, więc jej postać jest bez znaczenia. Czyli możemy dokonać takich podstawień:
\(\displaystyle{ C^3=C_1 \quad C^3=C \quad lnC = C}\)

Mam takie w miarę proste równanie do rozwiązania:
...........

Coś tu nie gra. Albo równanie, albo rozwiązanie!
Pozdrawiam