Matematyka.pl

Dowolną metodą wyznacz rozwiązanie szczególne układu

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{dx}{dt} = x + 3y \\
\frac{dy}{dt} = 3x + y + 1 \end{cases} }\)

spełniające warunki \(\displaystyle{ x(0) = 0, y(0) = 1}\).


Wychodzi mi:
\(\displaystyle{ x(t) = C_1e^{-2t} + C_2e^{4t} \\
y(t) = -C_1e^{-2t} + C_2e^{4t}}\)
czy to jest rozwiązanie ogóle układu? I jak wyliczyć z tego szczególne z tymi warunkami?

Sway22 pisze: ↑10 wrz 2023, o 23:43Wychodzi mi:
\(\displaystyle{ x(t) = C_1e^{-2t} + C_2e^{4t} \\
y(t) = -C_1e^{-2t} + C_2e^{4t}}\)
czy to jest rozwiązanie ogóle układu?

Nie. Wystarczyło podstawić i sprawdzić.

Zapomniałaś o niejednorodności.

Sway22 pisze: ↑10 wrz 2023, o 23:43I jak wyliczyć z tego szczególne z tymi warunkami?

Normalnie: podstawić warunki i wyrachować stałe.

JK

Jan Kraszewski pisze: ↑10 wrz 2023, o 23:51 Zapomniałaś o niejednorodności.

o czym?

O tej jedynce w drugim równaniu

a4karo pisze: ↑11 wrz 2023, o 00:11 O tej jedynce w drugim równaniu

Wydaje mi się, że ją uwzględniłam. Bo przy uzmiennianiu stałej wychodzi 0, więc chyba ta 1 nic nie zmienia?

Sway22 pisze: ↑11 wrz 2023, o 00:21Wydaje mi się, że ją uwzględniłam. Bo przy uzmiennianiu stałej wychodzi 0, więc chyba ta 1 nic nie zmienia?

No to podstaw swoje proponowane rozwiązanie do drugiego równania i zobacz, co wyjdzie.

JK

Jan Kraszewski pisze: ↑11 wrz 2023, o 01:25 No to podstaw swoje proponowane rozwiązanie do drugiego równania i zobacz, co wyjdzie.

hmm, no to nie wiem co robię źle.

Z pierwszego równania wyliczam y i wyliczam y'.
\(\displaystyle{ y = \frac{1}{3}( \frac{dx}{dt} - x) \\
y' = \frac{1}{3}( \frac{d^2x}{dt^2} - \frac{dx}{dt})}\)

Podstawiam do drugiego równania i wychodzi:
\(\displaystyle{ x'' - 2x' - 8x = 1}\)

Z \(\displaystyle{ x'' - 2x' - 8x = 0}\) wychodzi mi \(\displaystyle{ x(t)=C_1e^{-2t}+C_2e^{4t}}\)

Z tego \(\displaystyle{ x'(t) = -2C_1e^{-2t}+4C_2e^{4t}}\)

Więc \(\displaystyle{ y(t)= -C_1e^{-2t}+C_2e^{4t}}\)

I uzmienniając stałe wychodzi mi 0.

Sway22 pisze: ↑11 wrz 2023, o 01:40 Podstawiam do drugiego równania i wychodzi:
\(\displaystyle{ x'' - 2x' - 8x = 1}\)

Z \(\displaystyle{ x'' - 2x' - 8x = 0}\) wychodzi mi \(\displaystyle{ x(t)=C_1e^{-2t}+C_2e^{4t}}\)

Z tego \(\displaystyle{ x'(t) = -2C_1e^{-2t}+4C_2e^{4t}}\)

Więc \(\displaystyle{ y(t)= -C_1e^{-2t}+C_2e^{4t}}\)

To jest dobrze.

Sway22 pisze: ↑11 wrz 2023, o 01:40 I uzmienniając stałe wychodzi mi 0.

A jak Ci to wychodzi?

JK

Rozwiązujesz ten układ metodą eliminacji ?

Dodano po 1 godzinie 28 minutach 34 sekundach:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{dx}{dt} = x + 3y \\
\frac{dy}{dt} = 3x + y + 1 \end{cases}\\
\begin{cases} x=\frac{1}{3}\left(\frac{dy}{dt} - y - 1 \right) \\ \frac{dx}{dt} = x + 3y \end{cases} \\
\begin{cases} x=\frac{1}{3}\left(\frac{dy}{dt} - y - 1 \right) \\ \frac{1}{3} \cdot \frac{d^2y}{dt^2}-\frac{1}{3} \cdot \frac{dy}{dt} = \frac{1}{3}\frac{dy}{dt}-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3} + 3y \end{cases} \\
\begin{cases} x=\frac{1}{3}\left(\frac{dy}{dt} - y - 1 \right) \\ \frac{d^2y}{dt^2}- \frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dt}-y-1 + 9y \end{cases} \\
\begin{cases} x=\frac{1}{3}\left(\frac{dy}{dt} - y - 1 \right) \\ \frac{d^2y}{dt^2}- 2\frac{dy}{dt} -8y= -1 \end{cases} \\

}\)

\(\displaystyle{
\frac{d^2y}{dt^2}- 2\frac{dy}{dt} -8y= -1\\
\frac{d^2y}{dt^2}- 2\frac{dy}{dt} -8y=0\\
y=e^{\lambda t}\\
\lambda^2e^{\lambda t}-2\lambda e^{\lambda t}-8e^{\lambda t}=0\\
\left(\lambda^2-2\lambda -8\right) e^{\lambda t}=0\\
\lambda^2-2\lambda -8=0\\
\left( \lambda+2\right)\left(\lambda-4 \right)=0\\
x_{j}=C_{1}e^{-2t}+C_{2}e^{4t}\\
x_{s} = C_{1}\left( t\right)e^{-2t} +C_{2}\left( t\right)e^{4t} \\
x_{s}'\left( t\right)=C_{1}'\left( t\right)e^{-2t}-2C_{1}\left( t\right)e^{-2t} +C_{2}'\left( t\right)e^{4t}+4C_{2}\left( t\right)e^{4t}\\
x_{s}'\left( t\right)=\left(C_{1}'\left( t\right)-2C_{1}\left( t\right) \right)e^{-2t} +\left( C_{2}'\left( t\right)+4C_{2}\left( t\right) \right)e^{4t}\\
x_{s}''\left( t\right)=\left(C_{1}''\left( t\right)-2C_{1}'\left( t\right) \right)e^{-2t}-2\left(C_{1}'\left( t\right)-2C_{1}\left( t\right) \right)e^{-2t} \\
+\left( C_{2}''\left( t\right)+4C_{2}'\left( t\right) \right)e^{4t}+4\left( C_{2}'\left( t\right)+4C_{2}\left( t\right) \right)e^{4t}\\
x_{s}''\left( t\right)=\left( C_{1}''\left( t\right)-4C_{1}'\left( t\right)+4C_{1}\left( t\right) \right)e^{-2t}+\left( C_{2}''\left( t\right)+8C_{2}'\left( t\right) +16C_{2}\left( t\right) \right)e^{4t}\\
\left( C_{1}''\left( t\right)-4C_{1}'\left( t\right)+4C_{1}\left( t\right) \right)e^{-2t}+\left( C_{2}''\left( t\right)+8C_{2}'\left( t\right) +16C_{2}\left( t\right) \right)e^{4t}\\-2\left(\left(C_{1}'\left( t\right)-2C_{1}\left( t\right) \right)e^{-2t} +\left( C_{2}'\left( t\right)+4C_{2}\left( t\right) \right)e^{4t} \right)-8\left(C_{1}\left( t\right)e^{-2t} +C_{2}\left( t\right)e^{4t} \right)=1\\
\left( C_{1}''\left( t\right)-6C_{1}'\left( t\right) \right)e^{-2t} + \left( C_{2}''\left( t\right)+6C_{2}'\left( t\right) \right)e^{4t}=-1\\
C_{1}''\left( t\right)e^{2t}-6C_{1}'\left( t\right)e^{-2t}+C_{2}''\left( t\right)e^{4t} +6C_{2}'\left( t\right)e^{4t} =-1\\
\left(C_{1}''\left( t\right)e^{-2t}-2C_{1}'\left( t\right)e^{-2t} \right)-4C_{1}'\left( t\right) e^{-2t}+\left( C_{2}''\left( t\right)e^{4t}+4C_{2}'\left( t\right)e^{4t} \right)+2C_{2}'\left( t\right)e^{4t}=-1\\
\left(C_{1}'\left( t\right)e^{-2t}+C_{2}\left( t\right)e^{4t} \right)' -4C_{1}'\left( t\right) e^{-2t} + 2C_{2}'\left( t\right)e^{4t}=-1\\
\left(C_{1}'\left( t\right)e^{-2t}+C_{2}\left( t\right)e^{4t} \right)'-2\left( C_{1}'\left( t\right)e^{-2t}+C_{2}'\left( t\right)e^{4t} \right)-2C_{1}\left( t\right) e^{-2t}+4C_{2}'\left( t\right)e^{4t}=-1\\
}\)

Jeżeli przyjmiemy że \(\displaystyle{ C_{1}'\left( t\right)e^{-2t}+C_{2}'\left( t\right)e^{4t}=0}\)
to dostaniemy układ równań do rozwiązania

\(\displaystyle{
\begin{cases} C_{1}'\left( t\right)e^{-2t}+C_{2}'\left( t\right)e^{4t}=0 \\ -2C_{1}\left( t\right) e^{-2t}+4C_{2}'\left( t\right)e^{4t}=-1 \end{cases}\\
\begin{cases} C_{1}'\left( t\right)e^{-2t}=-C_{2}'\left( t\right)e^{4t}=0 \\ 6C_{2}'\left( t\right)e^{4t}=-1 \end{cases}\\
\begin{cases} C_{1}'\left( t\right)=-C_{2}'\left( t\right)e^{6t}=0 \\ C_{2}'\left( t\right)=-\frac{1}{6}e^{-4t} \end{cases}\\
\begin{cases} C_{1}'\left( t\right)=-\left(-\frac{1}{6}e^{-4t} \right) e^{6t} \\ C_{2}'\left( t\right)=-\frac{1}{6}e^{-4t} \end{cases}\\
\begin{cases} C_{1}'\left( t\right)=\frac{1}{6}e^{2t} \\ C_{2}'\left( t\right)=-\frac{1}{6}e^{-4t} \end{cases}\\

\begin{cases} C_{1}\left( t\right)=\frac{1}{12}e^{2t}
\\ C_{2}\left( t\right) =\frac{1}{24}e^{-4t} \end{cases} \\
y_{s}=\frac{1}{12}+\frac{1}{24}=\frac{1}{8}\\
\begin{cases} y=C_{1}e^{-2t}+C_{2}e^{4t}+\frac{1}{8}\\
\\ x=\frac{1}{3}\left( -2C_{1}e^{-2t}+4C_{2}e^{4t}-C_{1}e^{-2t}-C_{2}e^{4t}-\frac{1}{8}-1\right)
\end{cases} \\
\begin{cases} y=C_{1}e^{-2t}+C_{2}e^{4t}+\frac{1}{8}\\
\\ x=\frac{1}{3}\left( -3C_{1}e^{-2t}+3C_{2}e^{4t}-\frac{9}{8}\right)
\end{cases} \\
\begin{cases} x\left( t\right)=-C_{1}e^{-2t}+C_{2}e^{4t} -\frac{3}{8} \\ y\left( t\right)=C_{1}e^{-2t}+C_{2}e^{4t}+\frac{1}{8} \end{cases} \\
}\)

Dodano po 5 minutach 13 sekundach:
Skrócisz sobie obliczenia jeżeli nie będziesz pokazywać skąd się ten układ równań z macierzą Wrońskiego wziął
tylko od razu przejdziesz do jego rozwiązywania