Matematyka.pl

Cześć, potrzebuję pomocy z poniższym zadaniem i z góry dziękuję, gdyby ktoś byłby w stanie się tego podjąć i w miarę możliwości opisać schemat swojego postępowania!

Rozwiązać równanie różniczkowe logistyczne w postaci:

\(\displaystyle{ y'(t) = y(t)(b-ay(t))}\)

Gdzie:
\(\displaystyle{ y(t)}\)- liczba populacji,
\(\displaystyle{ b}\) – współczynnik urodzeń (liczba urodzeń przypadająca na liczbę przyjętych osobników w przyjętym okresie czasu np. liczba urodzeń osobników przypadająca na 1000 osobników w okresie jednego roku),
\(\displaystyle{ a}\) - współczynnik reprezentujący liczbę zgonów, uwzględniający zwiększenie liczby zgonów na skutek przegęszczenia środowiska.

Wykonać obliczenia dla następujących danych:
\(\displaystyle{ a = 1, b = 6, y(0) = 0}\)

To jest równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych. Przykładów znajdziesz w necie mnóstwo

\(\displaystyle{ y'(t) = y(t)\cdot [b-a \cdot y(t)] }\)

\(\displaystyle{ y' = b\cdot y \cdot \left[1 - \frac{a}{b} \cdot y\right] }\)

\(\displaystyle{ \frac{b}{a} =N }\) - wspólczynnik nośności populacji.

\(\displaystyle{ y = b\cdot y\left[ 1 - \frac{y}{N} \right] }\)

Rozdzielenie zmiennych:

\(\displaystyle{ \frac{dy}{ y \left[1 - \frac{y}{N} \right]} = b\cdot dt }\)

\(\displaystyle{ 1 = \frac{N}{N}. }\)

\(\displaystyle{ \frac{dy}{ y \left[\frac{N}{N} - \frac{y}{N} \right]} = b\cdot dt }\)

\(\displaystyle{ \int \frac{N dy}{y\cdot (N-y)} =\int b\cdot dt }\)

\(\displaystyle{ \int \left[ \frac{1}{y} + \frac{1}{N-y}\right] dy = \int b\cdot dt }\)

\(\displaystyle{ \ln(|y|) - \ln(|N-y|) = b\cdot t + A. }\)

\(\displaystyle{ \ln \left|\frac{y}{M-y}\right| = b\cdot t + A }\)

\(\displaystyle{ \left|\frac{y}{N-y}\right|= Be^{b\cdot t}, \ \ B = e^{A}.}\)

\(\displaystyle{ \frac{y}{N-y} = \pm Be^{b\cdot t} }\)

\(\displaystyle{ \frac{M-y}{y} = \ Ce^{-b\cdot t}, \ \ C=\pm \frac{1}{B}. }\)

\(\displaystyle{ N-y = y\cdot Ce^{-b\cdot t} }\)

\(\displaystyle{ N = (1 + Ce^{-b\cdot t})\cdot y }\)

Rozwiązanie ogólne:

\(\displaystyle{ y(t) = \frac{N}{1 + Ce^{-b\cdot t}} }\)

\(\displaystyle{ y(0) = y_{0} }\)

\(\displaystyle{ y_{0} = \frac{N}{1+C} }\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{y_{0}} = \frac{1+C}{N} }\)

\(\displaystyle{ C = \frac{N}{y_{0}} -1}\)

Rozwiązanie szczególne:

\(\displaystyle{ y_{s}(t) = \frac{N}{1+\left(\frac{N}{y_{0}} -1 \right)e^{-b\cdot t}} }\)

\(\displaystyle{ N = \frac{b}{a} = \frac{6}{1} = 6, \ \ b=6, \ \ y_{0} = 0. }\)