Rozwiąż równanie

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Rozwiąż równanie

Post autor: Mariusz M »

\(\displaystyle{ A\left( x\right) = \int_{0}^{ \infty }e^{-t}B\left( tx\right) \dd t }\)
gdzie \(\displaystyle{ A\left( x\right) }\) jest dane a \(\displaystyle{ B\left( x\right) }\) jest szukane
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Rozwiąż równanie

Post autor: Janusz Tracz »

pewnie głupi pomysł:    
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Re: Rozwiąż równanie

Post autor: Mariusz M »

Przekształcenie Laplace na pierwszy rzut oka wygląda nieźle
Problem w tym że nie rozwiązuje równania dla wszystkich możliwych funkcji \(\displaystyle{ A\left( x\right) }\)

Przykładowo

Niech \(\displaystyle{ A\left( t\right) }\) będzie funkcją tworzącą wielomianów Hermite

\(\displaystyle{ \begin{cases}H_{n+1}\left( x\right)=2xH_{n}\left( x\right)-2nH_{n-1}\left( x\right) \qquad n \ge 2 \\ H_{0}\left( x\right)=1\\H_{1}\left( x\right)=2x \end{cases} \\
H_{n}\left( x\right)=2xH_{n-1}\left( x\right)-\left(2n-2 \right) H_{n-2}\left( x\right)\\
\sum_{n=2}^{ \infty }H_{n}\left( x\right)t^n= \sum_{n=2}^{ \infty }2xH_{n-1}\left( x\right)t^n- \sum_{n=0}^{ \infty } \left( 2n-2\right)H_{n-2}\left( x\right)t^n\\
\sum_{n=2}^{ \infty }H_{n}\left( x\right)t^n= 2xt\left(\sum_{n=2}^{ \infty }H_{n-1}\left( x\right)t^{n-1} \right)-2t^2\left(\sum_{n=2}^{ \infty } \left( n-1\right)H_{n-2}\left( x\right)t^{n-2} \right) \\
\sum_{n=2}^{ \infty }H_{n}\left( x\right)t^n= 2xt\left(\sum_{n=1}^{ \infty }H_{n}\left( x\right)t^{n} \right)-2t^2\left(\sum_{n=0}^{ \infty } \left( n+1\right)H_{n}\left( x\right)t^{n} \right) \\
\sum_{n=0}^{ \infty }H_{n}\left( x\right)t^n - 1 - 2xt = 2xt\left(\sum_{n=0}^{ \infty }H_{n}\left( x\right)t^{n} - 1 \right)-2t^2 \frac{ \dd }{ \dd t } \left(\sum_{n=0}^{ \infty } H_{n}\left( x\right)t^{n+1} \right) \\
A\left( t\right) - 1 - 2xt = 2xtA\left( t\right) -2xt-2t^2\frac{ \dd }{ \dd t }\left( tA\left( t\right) \right) \\
A\left( t\right) - 1 = 2xtA\left( t\right) -2t^2\left(A\left( t\right)+tA'\left( t\right) \right)\\
A\left( t\right) - 1 = 2xtA\left( t\right) -2t^2A\left( t\right) -2t^3A'\left( t\right) \\
2t^3A'\left( t\right)+\left( 2t^2-2xt+1\right)A\left( t\right)=1\\
}\)


\(\displaystyle{
2t^3A'\left( t\right)+\left( 2t^2-2xt+1\right)A\left( t\right)=1\\
2t^3A'\left( t\right)+\left( 2t^2-2xt+1\right)A\left( t\right)=0\\
2t^3A'\left( t\right)=-\left( 2t^2-2xt+1\right)A\left( t\right)\\
\frac{A'\left( t\right)}{A\left( t\right) } = - \frac{2t^2-2xt+1}{2t^3} \\
\frac{A'\left( t\right)}{A\left( t\right) } = \left( -\frac{1}{t}+\frac{x}{t^2}-\frac{1}{2t^3}\right)\\
\ln{\left| A\left( t\right) \right| } = -\ln{\left| t\right| }-\frac{x}{t}+\frac{1}{4t^2}+C\\
A\left( t\right) = C\left( t\right) \cdot \frac{e^{\frac{1-4xt}{4t^2}}}{t}\\
2t^3\left( C'\left( t\right) \cdot \frac{e^{\frac{1-4xt}{4t^2}}}{t}+C\left( t\right) \cdot \frac{e^{ \frac{1-4xt}{4t^2} }\left( -\frac{1}{2t^3}+\frac{x}{t^2}\right)t-e^{ \frac{1-4xt}{4t^2} }}{t^2} \right) +\left( 2t^2-2xt+1\right)C\left( t\right) \cdot \frac{1}{t} \cdot e^{ \frac{1-4xt}{4t^2} } = 1\\
2t^3\left( C'\left( t\right) \cdot \frac{e^{\frac{1-4xt}{4t^2}}}{t}+C\left( t\right) \cdot \frac{e^{ \frac{1-4xt}{4t^2} }\left( -\frac{1}{2t^2}+\frac{x}{t}-1\right)}{t^2} \right) +\left( 2t^2-2xt+1\right)C\left( t\right) \cdot \frac{1}{t} \cdot e^{ \frac{1-4xt}{4t^2} } = 1\\
2t^2C'\left( t\right)e^{ \frac{1-4xt}{4t^2} }-\left( 2t^2-2xt+1\right)C\left( t\right) \cdot \frac{1}{t} \cdot e^{ \frac{1-4xt}{4t^2} }+\left( 2t^2-2xt+1\right)C\left( t\right) \cdot \frac{1}{t} \cdot e^{ \frac{1-4xt}{4t^2} }=1\\
2t^2C'\left( t\right)e^{ \frac{1-4xt}{4t^2} } = 1\\
C'\left( t\right) = \frac{e^{ \frac{4xt - 1}{4t^2} }}{2t^2}\\
}\)


\(\displaystyle{ \int{\frac{e^{ \frac{4xt - 1}{4t^2} }}{2t^2} \dd t}\\
\int{\frac{e^{ -\left( \frac{1}{4t^2}-\frac{x}{t} \right) }}{2t^2} \dd t}\\
y = \frac{a}{t}+b\\
\dd y = -\frac{a}{t^2}\\
y^2=\frac{a^2}{t^2}+\frac{2ab}{t}+b^2\\
-y^2 = - \frac{a^2}{t^2} - \frac{2ab}{t}-b^2
a=\frac{1}{2}\\
b=-x\\
-y^2 = -\frac{1}{4t^2}+\frac{x}{t}-x^2\\
-y^2+x^2 = -\frac{1}{4t^2}+\frac{x}{t}\\
\dd y = -\frac{1}{2t^2}\\
-e^{x^2}\int{e^{-y^2} \dd y}\\
-\frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{x^2}\mathrm{erf}\left( y\right) \\
C\left( t\right) =-\frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{x^2}\mathrm{erf}\left( \frac{1}{2t}-x\right)\\
A\left( t\right)=\left(-\frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{x^2}\mathrm{erf}\left( \frac{1}{2t}-x\right)+C\right)\frac{e^{\frac{1-4xt}{4t^2}}}{t}\\
}\)


\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0^{+}}{\left(-\frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{x^2}\mathrm{erf}\left( \frac{1}{2t}-x\right)+C\right)\frac{e^{\frac{1-4xt}{4t^2}}}{t}} = 1 }\)

\(\displaystyle{ A\left( t\right)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\left( 1- \mathrm{erf}\left( \frac{1}{2t} - x\right) \right) \cdot \frac{1}{t} \cdot e^{\left( \frac{1-2xt}{2t} \right)^{2} } }\)


No i np dla tej funkcji odwrotne przekształcenie Laplace nie zadziała

Dodano po 10 godzinach 13 minutach 55 sekundach:
Wyznaczmy teraz wykładniczą funkcję tworzącą wielomianów Hermite

\(\displaystyle{
\begin{cases} H_{n+1}\left( x\right)=2xH_{n}\left( x\right)-2nH_{n-1}\left( x\right) \qquad n \ge 1 \\ H_{0}\left( x\right)=1\\H_{1}\left( x\right)=2x \end{cases} \\
H_{n+2}\left( x\right)=2xH_{n+1}\left( x\right)-2\left( n+1\right) H_{n}\left( x\right)\\
B\left( t\right) = \sum_{n=0}^{ \infty }H_{n}\left( x\right)\frac{t^{n}}{n!} \\
\sum_{n=0}^{ \infty }H_{n+2}\left( x\right) \frac{t^{n}}{n!}= \sum_{n=0}^{ \infty }2xH_{n+1} \frac{t^{n}}{n!}+ \sum_{n=0}^{ \infty }\left( -2\left( n+1\right)H_{n}\left( x\right)\frac{t^n}{n!} \right)\\
\sum_{n=0}^{ \infty }H_{n+2}\left( x\right) \frac{t^{n}}{n!} = 2x\left(\sum_{n=0}^{ \infty }H_{n+1} \frac{t^{n}}{n!} \right) -2\left( \sum_{n=0}^{ \infty }\left( n+1\right)H_{n}\left( x\right)\frac{t^n}{n!} \right) \\
B\left( t\right) = \sum_{n=0}^{ \infty }H_{n}\left( x\right)\frac{t^{n}}{n!} \\
B'\left( t\right) = \sum_{n=0}^{ \infty }nH_{n}\left( x\right)\frac{t^{n-1}}{n!}\\
B'\left( t\right) = \sum_{n=1}^{ \infty }H_{n}\left( x\right)\frac{t^{n-1}}{\left(n-1\right)!}\\
B'\left( t\right) = \sum_{n=0}^{ \infty }H_{n+1}\left( x\right)\frac{t^{n}}{n!}\\
B''\left( t\right) = \sum_{n=0}^{ \infty }nH_{n+1}\left( x\right)\frac{t^{n-1}}{n!}\\
B''\left( t\right) = \sum_{n=1}^{ \infty }H_{n+1}\left( x\right)\frac{t^{n-1}}{\left(n-1\right)!}\\
B''\left( t\right) = \sum_{n=1}^{ \infty }H_{n+2}\left( x\right)\frac{t^{n}}{n!}\\
B''\left( t\right) =2xB'\left( t\right)-2\left( \sum_{n=0}^{ \infty }H_{n}\left( x\right) \frac{ \dd }{ \dd t }\frac{t^{n+1}}{n!} \right) \\
B''\left( t\right) =2xB'\left( t\right)-2 \frac{ \dd }{ \dd t} \left( \sum_{n=0}^{ \infty } H_{n}\left( x\right)\frac{t^{n+1}}{n!} \right) \\
B''\left( t\right) =2xB'\left( t\right)-2\frac{ \dd }{ \dd t}\left( tB\left( t\right) \right) \\
B''\left( t\right) =2xB'\left( t\right)-2\left( B\left( t\right)+tB'\left( t\right) \right) \\
B''\left( t\right) = 2xB'\left( t\right)-2B\left( t\right)-2tB'\left( t\right)\\
B''\left( t\right) = 2\left( x-t\right)B'\left( t\right)-2B\left( t\right)\\
B''\left( t\right) + 2\left( t-x\right)B'\left( t\right)+2B\left( t\right)=0 \\
}\)



Mamy zagadnienie Cauchyego

\(\displaystyle{
\begin{cases} B''\left( t\right) + 2\left( t-x\right)B'\left( t\right)+2B\left( t\right)=0 \\ B\left( 0\right) = 1\\B'\left( 0\right)=2x \end{cases}
}\)


Sprowadźmy to równanie do równania Riccatiego a może wtedy łatwiej będzie znaleźć całkę szczególną

\(\displaystyle{
B''\left( t\right) + 2\left( t-x\right)B'\left( t\right)+2B\left( t\right)=0\\
B''\left( t\right) = 2\left( x-t\right)B'\left( t\right)-2B\left( t\right)|:B\left( t\right)\\
\frac{B''\left( t\right)}{B\left( t\right)}= 2\left( x-t\right)\frac{B'\left( t\right)}{B\left( t\right)}-2 |-\left( \frac{B'\left( t\right)}{B\left( t\right)} \right)^2\\
\frac{B''\left( t\right)}{B\left( t\right)}-\frac{\left( B'\left( t\right)\right)\left( B'\left( t\right)\right) }{B^2\left( t\right) }=-\left( \frac{B'\left( t\right)}{B\left( t\right)} \right)^2+2\left( x-t\right)\frac{B'\left( t\right)}{B\left( t\right)}-2\\
\frac{B''\left( t\right)B\left( t\right)-\left( B'\left( t\right)\right)\left( B'\left( t\right)\right)}{B^2\left( t\right)}=-\left( \frac{B'\left( t\right)}{B\left( t\right)} \right)^2+2\left( x-t\right)\frac{B'\left( t\right)}{B\left( t\right)}-2\\
\left( \frac{B'\left( t\right)}{B\left( t\right)} \right)'=-\left( \frac{B'\left( t\right)}{B\left( t\right)} \right)^2+2\left( x-t\right)\frac{B'\left( t\right)}{B\left( t\right)}-2\\
}\)


Niech \(\displaystyle{ \frac{B'\left( t\right)}{B\left( t\right)}=z\left( t\right) }\)
mamy wówczas układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} z'\left( t\right)=-z^2\left( t\right)+2\left( x-t\right)z\left( t\right)-2 \\ B'\left( t\right)=B\left( t\right)z\left( t\right) \end{cases} }\)

Niech \(\displaystyle{ z_{1}\left( t\right)=at+b }\)

\(\displaystyle{ a = -\left( at+b\right)^2+2\left( x-t\right)\left( at+b\right)-2\\
a = -a^2t^2-2abt-b^2+2\left( axt+bx-at^2-bt\right) -2\\
a = \left( -a^2-2a\right)t^2+\left( 2ax-2ab-2b\right)t +2bx-b^2-2\\
a = -2\\
-2 = \left(-4x+2b\right)t +2bx-b^2-2\\
b = 2x\\
-2 = -2\\
z_{1}\left( t\right) = -2t+2x\\
z'\left( t\right)=-z^2\left( t\right)+2\left( x-t\right)z\left( t\right)-2\\
-2 = -\left( -2t+2x\right)^2+2\left( x-t\right)\left(-2t+2x \right)-2 \\
z'\left( t\right)+2 = -\left(z^2\left( t\right) - \left( -2t+2x\right)^2 \right)+2\left( x-t\right)\left(z\left( t\right) - \left(-2t+2x \right) \right) \\
z'\left( t\right)+2 = -\left(z\left( t\right) - \left( -2t+2x\right) \right)\left( z\left( t\right) + \left( -2t+2x\right)\right)+2\left( x-t\right)\left(z\left( t\right) - \left(-2t+2x \right) \right)\\
z'\left( t\right)+2 = -\left(z\left( t\right) - \left( -2t+2x\right) \right)\left(z\left( t\right) - \left( -2t+2x\right)+2\left( -2t+2x\right) \right)+2\left( x-t\right)\left(z\left( t\right) - \left(-2t+2x \right) \right)\\
z'\left( t\right)+2 =-\left(z\left( t\right) - \left( -2t+2x\right) \right)^2-4\left( x-t\right)\left(z\left( t\right) - \left( -2t+2x\right) \right)+2\left( x-t\right)\left(z\left( t\right) - \left(-2t+2x \right) \right)\\
z'\left( t\right)+2 =-\left(z\left( t\right) - \left( -2t+2x\right) \right)^2-2\left( x-t\right)\left(z\left( t\right) - \left( -2t+2x\right) \right)\\
v\left( t\right) = z\left( t\right) - \left( -2t+2x\right)\\
v'\left( t\right) = -v^2\left( t\right)-2\left( x-t\right)v\left( t\right)\\
v'\left( t\right)+2\left( x-t\right)v\left( t\right)= -v^2\left( t\right)\\
-\frac{v'\left( t\right) }{v^2\left( t\right) }+2\left( t-x\right)\frac{1}{v\left( t\right) } = 1\\
u\left( t\right) = \frac{1}{v\left( t\right) }\\
u'\left( t\right) +2\left( t-x\right)u\left( t\right) =1\\
u'\left( t\right) +2\left( t-x\right)u\left( t\right) = 0\\
u'\left( t\right) = 2\left( x-t\right)u\left( t\right)\\
\frac{u'\left( t\right)}{u\left( t\right)} = 2x-2t\\
\ln{|u\left( t\right) |} = 2xt-t^2+C\\
u\left( t\right) = Ce^{2xt-t^2}\\
u\left( t\right) = C\left( t\right)e^{2xt-t^2}\\
C'\left( t\right)e^{2xt-t^2} +\left( 2x-2t\right)C\left( t\right)e^{2xt-t^2}+2\left( t-x\right)C\left( t\right)e^{2xt-t^2} = 1\\
C'\left( t\right)e^{2xt-t^2} = 1 \\
C'\left( t\right) = e^{t^2-2xt}\\
C'\left( t\right) =e^{-x^2}e^{t^2-2xt+x^2}\\
C'\left( t\right) =e^{-x^2}e^{\left(t-x\right)^2}\\
}\)


Tutaj funkcja błędu wymagałaby urojonych argumentów więc w niektórych programach matematycznych zdefiniowano funkcję
\(\displaystyle{ \mathrm{erfi}\left( x\right)=-i \cdot \mathrm{erf}\left( i \cdot x\right) }\)

\(\displaystyle{ C\left( t\right)=\frac{ \sqrt{\pi} }{2}e^{-x^2}\mathrm{erfi}\left( t-x\right)\\
u\left( t\right) =\left(\frac{ \sqrt{\pi} }{2}e^{-x^2}\mathrm{erfi}\left( t-x\right)+C_{1}\right)e^{2xt-t^2}\\
v\left( t\right) =\frac{e^{t^2-2xt}}{\frac{ \sqrt{\pi} }{2}e^{-x^2}\mathrm{erfi}\left( t-x\right)+C_{1}}\\
z\left( t\right) = -2t+2x + \frac{e^{t^2-2xt}}{\frac{ \sqrt{\pi} }{2}e^{-x^2}\mathrm{erfi}\left( t-x\right)+C_{1}}\\

B'\left( t\right) = B\left( t\right)\left(-2t+2x + \frac{e^{t^2-2xt}}{\frac{ \sqrt{\pi} }{2}e^{-x^2}\mathrm{erfi}\left( t-x\right)+C_{1}} \right)\\
\frac{B'\left( t\right)}{B\left( t\right)} = -2t+2x + \frac{e^{t^2-2xt}}{\frac{ \sqrt{\pi} }{2}e^{-x^2}\mathrm{erfi}\left( t-x\right)+C_{1}}\\
\ln{|B\left( t\right) |} = -t^2+2xt+\ln{\left|\frac{ \sqrt{\pi} }{2}e^{-x^2}\mathrm{erfi}\left( t-x\right)+C_{1} \right| } +C_{2}\\
B\left( t\right) = C_{2}\left(\frac{ \sqrt{\pi} }{2}e^{-x^2}\mathrm{erfi}\left( t-x\right)+C_{1} \right)e^{2xt-t^2} \\
B\left( t\right) = C_{1}e^{2xt-t^2} + C_{2}\frac{ \sqrt{\pi} }{2}e^{-x^2}\mathrm{erfi}\left( t-x\right)e^{2xt-t^2}\\
}\)

Okazuje się że przy \(\displaystyle{ C_{1} = 1}\) oraz \(\displaystyle{ C_{2}=0}\)
warunki początkowe będą spełnione

Mamy zatem \(\displaystyle{ B\left( t\right) = e^{2xt-t^2} }\)

Jeżeli wstawimy za \(\displaystyle{ B\left( t\right) = e^{2xt-t^2}}\) do równania
\(\displaystyle{ A\left( x\right)= \int_{0}^{ \infty }e^{-t}B\left( xt\right) \dd t }\)
to powinniśmy otrzymać \(\displaystyle{ A\left( t\right) }\)

Jeżeli chodzi o twoje pierwsze podejście to jest ono kołowe bo właśnie chciałem wykorzystać tę równość aby jakoś powiązać
funkcje tworzące zwykłą i wykładniczą Ten wzorek powinien dawać zwykłą funkcję tworzącą gdy znamy wykładniczą funkcję tworzącą
Podejście z odwrotnym przekształceniem Laplace byłoby niezłe gdyby nie to że wymusza dość spore ograniczenie na \(\displaystyle{ A\left( x\right) }\)
ODPOWIEDZ