Matematyka.pl

Witam.
Mam takie równanie. Niestety nie mogę go rozwiązać.
\(\displaystyle{ y''+y = \sin t + t \cos 2t}\).

Wyznaczam RORN: \(\displaystyle{ y=C_1 \cos t + C_2 \sin t}\)

Następnie chcę wyznaczyć RSRN, zatem uzmienniam stałe i stosuję wrońskiany:

\(\displaystyle{ W= \left|
\begin{array}{cc}
\cos t & \sin t \\
- \sin t & \cos t
\end{array}
\right|}\)

\(\displaystyle{ W_1= \left|
\begin{array}{cc}
0 & \sin t \\
\sin t + t \cos 2t & \cos t
\end{array}
\right|}\)

\(\displaystyle{ W_2= \left|
\begin{array}{cc}
\cos t & 0 \\
- \sin t & \sin t + t \cos 2t
\end{array}
\right|}\)

i z tego wychodzą mi dość trudne całki do policzenia. Proszę o wskazówki. Czy ta droga doprowadzi do rozwiązania?

sorcerer123 pisze:i z tego wychodzą mi dość trudne całki do policzenia. Proszę o wskazówki. Czy ta droga doprowadzi do rozwiązania?

Tak, wyliczysz rozwiązanie, a trochę trygonometrii nie powinno Cię zniechęcać. Pomocne będą wzory:
\(\displaystyle{ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}\left[ \cos\left( \alpha - \beta \right) -\cos\left( \alpha + \beta \right)\right] \\
\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}\left[ \sin\left( \alpha - \beta \right) +\sin\left( \alpha + \beta \right)\right]\\
\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}\left[ \cos\left( \alpha - \beta \right) +\cos\left( \alpha + \beta \right)\right]}\)
Całkowanie przez części usunie t z całek.


W tym przykładzie alternatywą do uzmiennienia stałych jest przewidywanie:
\(\displaystyle{ y_s=t(A\sin t +B\cos t)+C\sin 2t +D\cos 2t+t(E\sin 2t +F\cos 2t)}\)

Mógłbyś mi wyjaśnić dlaczego w taki sposób przewidujemy rozwiązanie? Dlaczego tyle składowych?

A co jeśli niejednorodność miałbym takiej postaci: \(\displaystyle{ 9e^{2t}+40 \sin 3t + 6e^{2t} \sin 3t}\) ? Jak to będzie w takim przypadku?

\(\displaystyle{ y''+y = \sin t + t \cos 2t}\)
Jeżeli we fragmencie niejednorodnym występuje sinus (lub kosinus) to w przewidywaniu musi być uwzględniona para tych funkcji, czyli dla \(\displaystyle{ \sin t}\) przewidujesz : \(\displaystyle{ A\sin t +B\cos t}\) , a dla \(\displaystyle{ (t+0) \cos 2t}\) przewidujesz \(\displaystyle{ (Ct+D)\sin 2t +(Et+F)\dos 2x}\). Niestety tu nie jest to dobre przewidywanie gdyż wpływa na nie rozwiązanie równania jednorodnego. Jeżeli w całce ogólnej równanie jednorodnego jest fragment który wystąpiłby w przewidywaniu, to przewidywanie należy wzmocnić przez pomnożenie tego fragmentu o taką potęgę argumentu, aż całka ogólna i przewidywana całka szczególna nie będą się dublowały.
Ponieważ rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ y=C_1\cos x+C_2\sin x}\) to należy wzmocnić przewidywanie (dla \(\displaystyle{ \sin x}\) z niejednorodności) do \(\displaystyle{ y_s=At\sin t +Bt\cos t}\)

Dla
\(\displaystyle{ 9e^{2t}+40 \sin 3t + 6e^{2t} \sin 3t}\)
przewidujesz
\(\displaystyle{ Ae^{2t}+B \sin 3t +C\cos 3t +De^{2t} \sin 3t+Ee^{2t} \cos 3t}\)
o ile żaden ze składników nie wystąpił w rozwiązaniu równania jednorodnego.