Matematyka.pl

[ Dodano: 3 Kwietnia 2008, 13:41 ]
Jak liczyć takie równanie:
\(\displaystyle{ y\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} - \frac{y^2}{x}}\)

Mam taki pomysł, żeby najpierw policzyć rozwiązanie takiego równania:
\(\displaystyle{ y \frac{dy}{dx} - \frac{y^2}{x} = 0 \ \ |\cdot \frac{1}{xy} \\
\frac{1}{x} y' - \frac{1}{x^2} y = 0 \\
ft(\frac{1}{x} y\right)' = 0 \\
\frac{y}{x} = C \\
y = Cx}\)
Teraz rozwiązanie podanego równania przewiduję jako:
\(\displaystyle{ y = A\sqrt{x} \\
A \sqrt{x} \frac{A}{2\sqrt{x}} - \frac{A^2 x}{x} = \frac{1}{2} \\
-\frac{A^2}{2} = \frac{1}{2} \\
A = i \\
y = Cx i\sqrt{x}}\)
Trochę dziwne, ale chyba dobrze.

Jak się mają pojawiać jakieś liczby zespolone, to w tego typu zadaniach imho lepiej jest przedstawić rozw. w postaci uwikłanej.

A sam przykład zrobiłbym tak:
podst. \(\displaystyle{ p = y^2, \quad p' = 2 yy'}\) i:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}p' = \frac{1}{2} - \frac{p}{x}\\
\ldots
p = \frac{x}{3} + \frac{C}{x^2}\\
\boxed{y^2 = \frac{x}{3} + \frac{C}{x^2}}}\)

Ja licze to w ten sposob,
\(\displaystyle{ t = \frac{y^2}{x}}\)
\(\displaystyle{ dy = \frac{x}{2*\sqrt{tx}}dt}\)
\(\displaystyle{ \frac{dt}{1-2t} = \frac{dx}{x}}\)

Ale tutaj robię błąd , w mianowniku powinno byc \(\displaystyle{ 1- 3t}\). Możecie mi w tym pomoc?

Powinno być tak:
\(\displaystyle{ y^2 = tx \\
2y y' = t + xt' yy' = \frac{t + xt'}{2} \\
\frac{t + xt'}{2} = \frac{1}{2} - t \\
\frac{xt'}{2} = \frac{1}{2} - \frac{3}{2}t \\
xt' = 1 - 3t \\
\frac{dt}{1 - 3t} = \frac{dx}{x}}\)

Możesz mi jeszcze wytłumaczyć dlaczego przez cale twoje rozumowanie nie pojawiało sie \(\displaystyle{ dx}\) a dopiero w ostatniej linijce się znalazło.