Matematyka.pl

Znajdź całkę ogólną równania \(\displaystyle{ t^2x'' - 3tx' + 4x = 0 }\) wiedząc, że ma ono rozwiązanie szczególne \(\displaystyle{ x_1(t) = t^2}\). Znajdź całkę szczególną spełniającą warunek \(\displaystyle{ x(1) = 1, x'(1) = 2}\). Zrób wykres znalezionego rozwiązania szczególnego.

To równanie Newtona.
Równanie charakterystyczne (przy podstawieniu \(\displaystyle{ x=t^r}\) ) :
\(\displaystyle{ t^2r(r-1)t^{r-2} - 3trt^{r-1} + 4t^r = 0 \\
r^2-r-3r+4=0\\
(r-2)^2=0\\
x=C_1t^2+C_2 t^2\ln t
}\)

Nie Newtona tylko Eulera
Podstawienie \(\displaystyle{ t=e^{z}}\)
sprowadzi to równanie do równania o stałych współczynnikach
I dydaktycznie jest to lepsze podejście niż to użyte przez kerajsa
Tutaj jednak podali jej całkę szczególną więc proponuję aby obniżyła rząd równania

\(\displaystyle{
t^2x'' - 3tx' + 4x = 0\\
x=t^2 \int{z\mbox{d}z}\\
x'=2t\int{z\mbox{d}z}+t^2z\\
x'' = 2\int{z\mbox{d}z}+2tz+2tz+t^2z'\\
x'' = 2\int{z\mbox{d}z} + 4tz + t^2z'\\
t^2\left(2\int{z\mbox{d}z} + 4tz + t^2z' \right)-3t\left(2t\int{z\mbox{d}z}+t^2z \right) + 4t^2 \int{z\mbox{d}z}=0\\
2t^2\int{z\mbox{d}z} + 4t^3z + t^4z' -6t^2\int{z\mbox{d}z}-3t^3z+4t^2 \int{z\mbox{d}z}=0\\
t^4z'+t^3z'=0\\
t^3\left(tz'+z\right)=0\\
\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}\left( tz\right)=0\\
tz=C_{1}\\
z=\frac{C_{1}}{t}\\
x=t^2\int{\frac{C_{1}}{t}\mbox{d}t}\\
x = t^2\left( C_{1}\ln{\left| t\right| } + C_{2}\right) \\
x = C_{2}t^2+C_{1}t^2\ln{\left| t\right| }\\
}\)

Całka szczególna

\(\displaystyle{
x=C_{2}t^2+C_{1}t^2\ln{\left| t\right| }\\
x' = 2C_{2}t+C_{1}\left( 2t\ln{\left| t\right| }+t\right)\\
\begin{cases} C_{2}=1 \\ 2=2+C_{1} \end{cases} \\
\begin{cases} C_{2}=1 \\ C_{1}=0 \end{cases} \\
x=t^2\\
}\)