Matematyka.pl

Rozwiąż równanie różniczkowe:

\(\displaystyle{ \frac{x'}{1+x^2} - \arctg x = 3e^{2t}}\)

Rozwiązujemy równanie jednorodne

\(\displaystyle{ \frac{x'}{1+x^2} - \arctg x = 0}\)

i mamy:

\(\displaystyle{ x = \tg (ce^{t})}\)

Nie wiem co dalej, mam zastosować metodę przewidywań czy uzmienniania stałej? Z góry dzięki za pomoc.

Uzmiennianie stałej zadziała.

Tylko właśnie mam problem dalej :

\(\displaystyle{ \ x=\tg(c(t)e^t)\\ x' = \frac{1}{\cos^2{c(t)e^t}} \cdot (c(t)e^t)' \\ x' = \frac{c'(t)e^t + c(t)e^t}{\cos^2c(t)e^t}}\)

I podstawiając do głównego równania :

\(\displaystyle{ \frac{\frac{c'(t)e^t + c(t)e^t}{\cos^2c(t)e^t}}{1+\tg^2(c(t)e^t)} - \arctg(\tg(c(t)e^t) = 3e^2t }\)

No i nie skróci nam sie \(\displaystyle{ c(t)}\) chyba, bo jest w argumencie tangensa.

Skróci sie:

\(\displaystyle{ \frac{1}{1+\tg^2a}=\cos^2a.}\)

Ach no tak, dzięki wielkie za pomoc.

Aby dostać równanie liniowe należałoby jednak podstawić \(\displaystyle{ u\left( t\right)=\arctan{\left( x\left( t\right)\right) } }\)