Proszę o podpowiedź w rozwiązaniu równania (metoda podstawienia):
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} = \sin \left( x-y \right)}\)
równanie różniczkowe
-
yaro84
- Użytkownik
- Posty: 56
- Rejestracja: 22 paź 2007, o 12:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: k-ce
- Podziękował: 4 razy
równanie różniczkowe
Ostatnio zmieniony 10 lut 2013, o 11:03 przez smigol, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
yaro84
- Użytkownik
- Posty: 56
- Rejestracja: 22 paź 2007, o 12:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: k-ce
- Podziękował: 4 razy
równanie różniczkowe
Zrobiłem podstawienie \(\displaystyle{ u=x-y}\). Rozwiązałem zadanie ale odp wyszła mi inna niż w książce, dlatego proszę o podpowiedź. Zrobiłem tak:
\(\displaystyle{ u=x-y}\)
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}x} = x\mbox{d}x - \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} = 1 - \frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}x}}\)
Wracając do równania:
\(\displaystyle{ 1 - \frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}x} = \sin u}\)
Przekształcając:
\(\displaystyle{ \mbox{d}x = \frac{1}{1 - \sin u} \mbox{d}u}\)
Całkując:
\(\displaystyle{ x = \int \frac{\mbox{d}u}{1 - \sin u}}\)
Rozwiązując całkę po prawej stronie:
\(\displaystyle{ x = \frac{-2}{\tg (\frac{u}{2}) - 1}}\)
\(\displaystyle{ x = \frac{-2}{\tg (\frac{x-y}{2}) - 1}}\)
A odp wygląda:
\(\displaystyle{ x - \tg (x-y) - \frac{1}{\cos (x-y)} = c}\)
\(\displaystyle{ u=x-y}\)
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}x} = x\mbox{d}x - \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} = 1 - \frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}x}}\)
Wracając do równania:
\(\displaystyle{ 1 - \frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}x} = \sin u}\)
Przekształcając:
\(\displaystyle{ \mbox{d}x = \frac{1}{1 - \sin u} \mbox{d}u}\)
Całkując:
\(\displaystyle{ x = \int \frac{\mbox{d}u}{1 - \sin u}}\)
Rozwiązując całkę po prawej stronie:
\(\displaystyle{ x = \frac{-2}{\tg (\frac{u}{2}) - 1}}\)
\(\displaystyle{ x = \frac{-2}{\tg (\frac{x-y}{2}) - 1}}\)
A odp wygląda:
\(\displaystyle{ x - \tg (x-y) - \frac{1}{\cos (x-y)} = c}\)
Ostatnio zmieniony 10 lut 2013, o 11:05 przez smigol, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. 'literkę' d wpisuj tak: \mbox{d}.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. 'literkę' d wpisuj tak: \mbox{d}.