Matematyka.pl

Witam, mam do rozwiązania równanie różniczkowe zmian temperatury:

\(\displaystyle{ rVc\cdot \frac{dT}{dt}=P+rQc ft( T _{i} -T\right)}\)

gdzie: \(\displaystyle{ r, V, c, P, Q, T_{i}}\) są stałymi

Mahoni pisze:Witam, mam do rozwiązania równanie różniczkowe zmian temperatury:

\(\displaystyle{ rVc\cdot \frac{dT}{dt}=P+rQc ft( T _{i} -T\right)}\)

gdzie: \(\displaystyle{ r, V, c, P, Q, T_{i}}\) są stałymi

Zacznijmy od wywalenia tych wszystkich stałych:

\(\displaystyle{ rVc\cdot \frac{dT}{dt}=P+rQcT_{i} -rQcT}\)

\(\displaystyle{ \frac{dT}{dt}=\frac{P+rQcT_{i}}{rVc} -\frac{rQc}{rVc}\cdot T= \frac{P+rQcT_{i}}{rVc} -\frac{Q}{V}\cdot T}\)

Oznaczmy teraz:
\(\displaystyle{ d = \frac{P+rQcT_{i}}{rVc}, f = \frac{Q}{V}}\)

Nasze równanie wygląda teraz tak:

\(\displaystyle{ \frac{dT}{dt} =d - f T \iff \frac{dT}{dt} + f T = d}\)

Otrzymaliśmy równanie liniowe. Żeby je rozwiązać trzeba użyć jednego z kilku trików. Jedna z opcji - metoda czynnika całkującego: szukamy takiej funkcji (wystarczy jedna) \(\displaystyle{ \mu = \mu(x)}\), żeby po pomnożeniu obu stron równania przez nią:

\(\displaystyle{ \mu \frac{dT}{dt} + \mu f T = \mu d}\)

Dało się napisać:

\(\displaystyle{ (\mu T)' = \mu d}\)

Ze wzoru na pochodną iloczynu widać, że żeby to było prawdą to musi być:

\(\displaystyle{ T\cdot(\mu)' = \mu f T}\)

Czyli \(\displaystyle{ (\mu)' = \mu f}\).

Widać, że działa \(\displaystyle{ \mu = e^{ft}}\).

Zgodnie z planem piszemy:

\(\displaystyle{ (\mu T)' = \mu d \iff (e^{ft} T)' = e^{ft} d}\)

Ostatnią równość całkujemy stronami i dostajemy:
\(\displaystyle{ e^{ft} T = t{e^{ft} d dt} = d \frac{e^{ft}}{f} + C}\)

Dzielimy przez \(\displaystyle{ e^{ft}}\):

\(\displaystyle{ T = \frac{d}{f} + C\cdot e^{-ft}}\)

Ręcznie sprawdzamy, że to (na szczęście!) faktycznie rozwiązanie równiania

\(\displaystyle{ \frac{dT}{dt} + f T = d}\)

Z tego co pamiętam, to istnieją odpowiednie tw. które mówią, że w ten sposób znalazłem wszystkie rozwiązania naszego równania różniczkowego.
Pozostało teraz tylko za d i f podstawić z powrotem te stałe, które im przypisałem na samym początku.

Zróbmy sobie podstawienie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=rVc \\ b=rQc \\ c=P+bT_i \end{cases}}\)

Wtedy mamy równanie:
\(\displaystyle{ a \frac{dT}{dt}=c-bT a \frac{dT}{dt}+bT=c}\)

Jest to równanie niejednorodne pierwszego stopnia, czyli najpierw liczymy całkę ogólna równania poprzez sprowadzenie równania z niejednorodnego na jednorodne (wyzerowanie prawej strony równania):

\(\displaystyle{ a \frac{dT}{dt}+bT=0 \frac{dT}{dt}= -\frac{b}{a}T \frac{dT}{T}= -\frac{b}{a}dt ln|T|= -\frac{b}{a}t + C \\ T=e^{-\frac{b}{a}t + C} T=Ae^{ -\frac{b}{a}t }}\)
\(\displaystyle{ A=e^C}\) - stała całkowania

Teraz przechodzimy do metody zwanej "uzmiennianie stałej", która pozwoli nam policzyć całkę szczególna naszego równania, wtedy rozwiązanie równania jednorodnego wygląda następująco:

\(\displaystyle{ T=A_{(t)} e^{ -\frac{b}{a}t }}\)

Teraz liczymy pochodną powyższego wyrażenia:
\(\displaystyle{ \frac{dT}{dt}=A'_{(t)} e^{ -\frac{b}{a}t }- \frac{b}{a}A_{(t)}e^{ -\frac{b}{a}t }}\)

I powyższe dwa wyrażenia wstawiamy do naszego równania wejściowego (niejednorodnego):

\(\displaystyle{ a ft(A'_{(t)} e^{ -\frac{b}{a}t }- \frac{b}{a}A_{(t)}e^{ -\frac{b}{a}t } \right) +bA_{(t)} e^{ -\frac{b}{a}t }=c}\)

Po uporządkowaniu, rugujemy \(\displaystyle{ A'_{(t)}}\) i dostajemy:
\(\displaystyle{ A'_{(t)}= \frac{c}{a}e^{ \frac{b}{a}t } A_{(t)}= \frac{c}{b} e^{ \frac{b}{a}t }+C_1}\)

\(\displaystyle{ C_1}\) - stała całkowania

Wynik podstawiamy do wyrażenia końcowego na całkę ogólną równania:
\(\displaystyle{ T= ft[ \frac{c}{b} e^{ \frac{b}{a}t }+C_1 \right] e^{ -\frac{b}{a}t } = \frac{c}{b} +C_1 e^{ -\frac{b}{a}t}\)

Po wróceniu do podstawowych stałych dostajemy:
\(\displaystyle{ T=\frac{P}{rQc} +T_i+C_1e^{- \frac{Q}{V}t }}\)

Pozdro

Dzięki, ja użyłem do tego metody rozdzielenia zmiennych i wyszedł mi nieco inny wynik Pozdrawiam również

[ Dodano: 13 Maj 2008, 10:25 ]
Jednak po małej korekcji doszedłem do tego samego wyniku, jeszcze raz dzięki