Równanie różniczkowe o zm rozdzielonych

Jestemfajny · Post autor: **Jestemfajny** » 15 lis 2008, o 15:22

\(\displaystyle{ tgx sin^{2}y+cos^{2}xctgy \frac{dy}{dx}=0}\)

nemezis100807 · Post autor: **nemezis100807** » 7 lip 2010, o 22:03

-- Proszę o komentarze do jakości przedstawionego rozwiązania zadania na PW --

Równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

\(\displaystyle{ f(y) \mbox{d}y=g(x) \mbox{d}x,\quad f\in C_{[a,b]}, g\in C_{[c,d]}}\)

\(\displaystyle{ \tg{x}\sin^{2}{y}+\cos^{2}{x}\ctg{y} \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=0.\quad (1)}\)

Równanie \(\displaystyle{ (1)}\) po sprowadzeniu do równania różniczkowego o zmiennych rozdzielonych ma postać:

\(\displaystyle{ \frac{\cos{y}}{\sin^{3}{y}} \mbox{d}y=-\frac{\sin{x}}{\cos^{3}{x}} \mbox{d}x,}\)

\(\displaystyle{ x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}, y\neq l\pi, l\in\mathbb{Z}.\quad (2)}\)

Całkując \(\displaystyle{ (2)}\) względem tej zmiennej, która po tej stronie występuję, mamy:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2\sin^{2}{y}}=-\frac{1}{2\cos^{2}{x}}+C, C\in\mathbb{R}.\quad (3)}\)

meninio · Post autor: **meninio** » 8 lip 2010, o 08:52

Wygląda na dobrze zrobione.