Równanie różniczkowe liniowe rzędu 1

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Awatar użytkownika
pawlo392
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1085
Rejestracja: 19 sty 2015, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jasło/Kraków
Podziękował: 270 razy
Pomógł: 34 razy

Równanie różniczkowe liniowe rzędu 1

Post autor: pawlo392 »

Cześć!

Rozważmy taką funkcję
\(\displaystyle{ h(x)=\sum_n^\infty \frac{P_n(x)}{n!}t^n}\).
Użyjemy warunku, że \(\displaystyle{ P'_n(x)=nP_{n−1}(x)}\), czyli otrzymujemy \(\displaystyle{ h(x)=\sum_n^\infty \frac{P_{n+1}'(x)}{(n+1)!}\frac{t^n}{n!}}\).
I tutaj wydaje mi się, że powinienem pójść w innym kierunku, to znaczy \(\displaystyle{ h'(x)=\sum_n^\infty \frac{P'_n(x)}{n!}t^n}\) i teraz skorzystać z warunku. Mamy zatem \(\displaystyle{ h'(x)=\sum_n^\infty \frac{P'_n(x)}{n!}t^n=\sum_n^\infty \frac{nP_{n-1}(x)}{n!}t^n }\). Próbuje dojść do równania różniczkowego rzędu 1 gdzie rozwiązaniem bedzię \(\displaystyle{ A(t)e^{xt}}\), gdzie \(\displaystyle{ A(t)}\) to \(\displaystyle{ A(t)=\sum_n^\infty \frac{\mathcal{P}_n}{n!}t^n,\ (\mathcal{P}_n:=P_n(0))}\) funkcja generująca.
Ostatnio zmieniony 30 sty 2023, o 23:10 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
ODPOWIEDZ