Równanie różniczkowe drugiego rzędu

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
malwinka1058
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 163
Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
Płeć: Kobieta
Podziękował: 2 razy

Równanie różniczkowe drugiego rzędu

Post autor: malwinka1058 »

Rozwiązać równanie różniczkowe
\(\displaystyle{ y''=e^{2y}}\)
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Równanie różniczkowe drugiego rzędu

Post autor: Tmkk »

Wskazówka: Zobacz, że jak sobie przemnożysz obie strony przez \(\displaystyle{ 2y'}\) to lewej stronie zobaczysz \(\displaystyle{ \left((y')^2\right)'}\), a po prawej \(\displaystyle{ \left(e^{2y}\right)'}\).
malwinka1058
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 163
Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
Płeć: Kobieta
Podziękował: 2 razy

Re: Równanie różniczkowe drugiego rzędu

Post autor: malwinka1058 »

Mógłbyś rozpisać, co dalej zrobić? Calkujemy obustronnie?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Równanie różniczkowe drugiego rzędu

Post autor: janusz47 »

\(\displaystyle{ y'' = e^{2y}. }\)

\(\displaystyle{ y' = p, }\)

\(\displaystyle{ \frac{dp}{dy} \cdot p = e^{2y},}\)

\(\displaystyle{ p dp = e^{2y}\cdot dy, }\)

Całkujemy obustronnie:

\(\displaystyle{ \int p dp = \int e^{2y} dy, }\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}p^2 = \frac{1}{2}e^{2y} +c, }\)

\(\displaystyle{ p^2 = e^{2y} + C, \ \ C = 2c, }\)

\(\displaystyle{ p = \pm \sqrt{e^{2y}+ C}. }\)

Wracamy do podstawienia:

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = \pm \sqrt{e^{2y}+ C} }\)

Rozdzielamy zmienne:

\(\displaystyle{ \frac{dy}{\pm \sqrt{e^{2y}+ C}} = dx }\)

\(\displaystyle{ \int \frac{dy}{\pm \sqrt{e^{2y}+ C}} = \int dx }\)

Całkę obliczamy metodą podstawienia:

\(\displaystyle{ \pm \sqrt{e^{2y}+ C} = u,\ \ e^{2y} = u^2 - C, \ \ 2e^{2y}dy = 2udu, \ \ e^{y} dy = udu, }\)

.....................................................................................
Ostatnio zmieniony 25 cze 2022, o 14:33 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
ODPOWIEDZ