Rozwiązać równanie różniczkowe
\(\displaystyle{ y''=e^{2y}}\)
Równanie różniczkowe drugiego rzędu
-
- Użytkownik
- Posty: 163
- Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 2 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Równanie różniczkowe drugiego rzędu
Wskazówka: Zobacz, że jak sobie przemnożysz obie strony przez \(\displaystyle{ 2y'}\) to lewej stronie zobaczysz \(\displaystyle{ \left((y')^2\right)'}\), a po prawej \(\displaystyle{ \left(e^{2y}\right)'}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 163
- Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 2 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 7910
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Re: Równanie różniczkowe drugiego rzędu
\(\displaystyle{ y'' = e^{2y}. }\)
\(\displaystyle{ y' = p, }\)
\(\displaystyle{ \frac{dp}{dy} \cdot p = e^{2y},}\)
\(\displaystyle{ p dp = e^{2y}\cdot dy, }\)
Całkujemy obustronnie:
\(\displaystyle{ \int p dp = \int e^{2y} dy, }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}p^2 = \frac{1}{2}e^{2y} +c, }\)
\(\displaystyle{ p^2 = e^{2y} + C, \ \ C = 2c, }\)
\(\displaystyle{ p = \pm \sqrt{e^{2y}+ C}. }\)
Wracamy do podstawienia:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = \pm \sqrt{e^{2y}+ C} }\)
Rozdzielamy zmienne:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{\pm \sqrt{e^{2y}+ C}} = dx }\)
\(\displaystyle{ \int \frac{dy}{\pm \sqrt{e^{2y}+ C}} = \int dx }\)
Całkę obliczamy metodą podstawienia:
\(\displaystyle{ \pm \sqrt{e^{2y}+ C} = u,\ \ e^{2y} = u^2 - C, \ \ 2e^{2y}dy = 2udu, \ \ e^{y} dy = udu, }\)
.....................................................................................
\(\displaystyle{ y' = p, }\)
\(\displaystyle{ \frac{dp}{dy} \cdot p = e^{2y},}\)
\(\displaystyle{ p dp = e^{2y}\cdot dy, }\)
Całkujemy obustronnie:
\(\displaystyle{ \int p dp = \int e^{2y} dy, }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}p^2 = \frac{1}{2}e^{2y} +c, }\)
\(\displaystyle{ p^2 = e^{2y} + C, \ \ C = 2c, }\)
\(\displaystyle{ p = \pm \sqrt{e^{2y}+ C}. }\)
Wracamy do podstawienia:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = \pm \sqrt{e^{2y}+ C} }\)
Rozdzielamy zmienne:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{\pm \sqrt{e^{2y}+ C}} = dx }\)
\(\displaystyle{ \int \frac{dy}{\pm \sqrt{e^{2y}+ C}} = \int dx }\)
Całkę obliczamy metodą podstawienia:
\(\displaystyle{ \pm \sqrt{e^{2y}+ C} = u,\ \ e^{2y} = u^2 - C, \ \ 2e^{2y}dy = 2udu, \ \ e^{y} dy = udu, }\)
.....................................................................................
Ostatnio zmieniony 25 cze 2022, o 14:33 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.