Przyjmijmy że \(\displaystyle{ y=\cos{\left( n\arccos{x}\right) }}\)
jest całką pewnego równania różniczkowego
Niech \(\displaystyle{ x=\cos{t}}\) , mamy wówczas
\(\displaystyle{ y=\cos{\left( nt\right) }\\
y'=-n\sin{\left( nt\right) }\\
y''=-n^2\cos{\left( nt\right) }\\
y''=-n^2y\\
y'' + n^2y=0\\
}\)
Zastosujmy teraz zamianę zmiennej niezależnej
\(\displaystyle{
x=\cos{t}\\
\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}t}=-\sin{t}\\
\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}= \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} \cdot \frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}t}\\
\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}= \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} \cdot \left( -1 \cdot \left(\pm\sqrt{1-x^2}\right)\right)\\
\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}=\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} \cdot\left( \mp\sqrt{1-x^2}\right) \\
\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}t^2}= \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}\left( \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t} \right) \\
\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}t^2}= \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\left(\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} \cdot \frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}t} \right) \cdot \frac{ \mbox{d}x}{\mbox{d}t} \\
\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}t^2}= \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\left(\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} \cdot \mp\sqrt{1-x^2} \right) \cdot \left( \mp\sqrt{1-x^2}\right) \\
\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}t^2}= \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\left(\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} \cdot \sqrt{1-x^2} \right) \cdot \sqrt{1-x^2} \\
\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}t^2} = \sqrt{1-x^2} \left(\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}x^2} \cdot \sqrt{1-x^2}-\frac{x}{ \sqrt{1-x^2} } \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} \right) \\
\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}t^2} = \left( 1-x^2\right) \cdot \frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}x^2} - x \cdot \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} \\
}\)
Zatem po zamianie zmiennej niezależnej dostajemy
\(\displaystyle{ \left( 1-x^2\right) \cdot \frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}x^2} - x \cdot \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} + n^2y=0}\)
Jakie warunki początkowe należy wybrać aby rozwiązaniem powyższego równania była funkcja
(albo jak niektórzy wolą wyrażenie algebraiczne) \(\displaystyle{ y=\cos{\left( n \cdot \arccos{x}\right) }}\)
Odpowiedź na to dość łatwe pytanie pozwoli obliczać współczynniki wielomianów Czebyszowa nie tylko z równania rekurencyjnego
ale i z równania różniczkowego
Dodano po 46 minutach 37 sekundach:
Te warunki początkowe mają być tak dobrane aby ułatwić obliczanie współczynników szeregu potęgowego
Dodano po 2 miesiącach 4 dniach 7 godzinach 9 minutach 36 sekundach:
Warunkami początkowymi powinny być
\(\displaystyle{
\begin{cases} y\left( 0\right)=\cos{\left( \frac{\pi}{2}n \right) } \\ y'\left( 0\right)=n \cdot \sin{\left( \frac{\pi}{2}n\right) } \end{cases}
}\)
ale jak do tego dojść
Dodano po 26 dniach 3 godzinach 9 minutach 37 sekundach:
Bawiąc się tym równaniem wywnioskowałem że rozwiązanie tego równania powinno być postaci
\(\displaystyle{ y\left( x\right) = \sum_{m=0}^{n}{\left( \frac{\left( -1\right)^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor} }{m!} \cdot \frac{1}{4} \cdot \left( \left(1+\left( -1\right)^{n} \right)\left(1+\left( -1\right)^{m} \right)+\left(1-\left( -1\right)^{n} \right)\left(1-\left( -1\right)^m \right)n \right)\prod_{k=1}^{\lfloor\frac{m}{2}\rfloor}{\left( m-2k-n\right)\left( m-2k+n\right) } \right)x^{m} } }\)
tylko jak dobrać wartości początkowe