Janusz Tracz pisze: ↑6 sty 2024, o 13:37
Zatem aby w ogóle nie wplątać się w tarapaty najlepiej rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \clubsuit=\frac{y}{x},\spadesuit=\frac{-xy}{2} }\). Mnożąc równania dostaniemy jedynie wyrażanej na zmienną
\(\displaystyle{ y}\). I dalej łatwo już wyliczyć
\(\displaystyle{ x}\). Dopiero to podstawimy.
Nie rozumiem co mam wyliczyć (jaki układ równań) i jak podstawić?
Tzn. z tego co Pan piszę to rozumiem, że y'ka mogę podstawić w ten sposób
\(\displaystyle{ x'y'=\frac{y}{x} \cdot \frac{-xy}{2}=\frac{-y^{2}}{2} \Rightarrow -2x'y'=y^{2}}\) Ale teraz niestety nie wiem jak zastąpić x korzystając tylko z tych dwóch podstawień. I właśnie nie bardzo rozumiem o jaki dokładnie układ równań Panu chodzi.
Ale chyba już całkowicie się pogubiłem, bo dla takiego podstawienia za
\(\displaystyle{ y^{2}=-2x'y' \Rightarrow =-2 \cdot \left( \frac{y}{x}\right) \cdot \left( z-\frac{xy}{2}\right) = \frac{-2zy+xy^{2}}{x}'}\) wracając do x,y,z nie otrzyma się żadnego z dwóch składników, które przytoczyłem we wcześniejszym poście przy prawidłowym rozwiązaniu szczególnym. Czekam na dalsze wskazówki.
Dodano po 1 godzinie 12 minutach 21 sekundach:
Niestety nie mogę już edytować posta, mam nadzieję, że nie będzie problemu z dodaniem kolejnego.
Pomyślałem o układzie równań w stylu.
\(\displaystyle{ \begin{cases} \clubsuit=\frac{y}{x} \\ \spadesuit=-\frac{xy}{2} \Rightarrow y=-\frac{2\spadesuit}{x} \end{cases} }\)
Wstawiając do (1) za y:
\(\displaystyle{ \clubsuit = -\frac{2 \spadesuit}{x^{2}} \Rightarrow x^{2}=-\frac{2 \spadesuit}{\clubsuit}}\)
A więc mając to i fakt z poprzedniego, że:
\(\displaystyle{ y^{2}=-2\clubsuit \spadesuit}\)
Chciałbym zapisać
\(\displaystyle{ F(\clubsuit,\spadesuit)=-\frac{2 \spadesuit}{\clubsuit} + -2\clubsuit \spadesuit }\)
Co dla rozwinięcia x,y,z dałoby:
\(\displaystyle{ F(x,y,z)=\left( -2 \cdot \left( z-\frac{xy}{2}\right) \cdot \frac{x}{y}\right)+\left( -2 \cdot \left( z-\frac{xy}{2}\right) \cdot \frac{y}{x} \right)=x^{2}-\frac{2zx}{y}-\frac{2zy}{x}+y^{2} }\)
Wolfram ->
Kod: Zaznacz cały
https://www.wolframalpha.com/input?i=%28-2%29*%28z-%28xy%2F2%29%29*%28x%2Fy%29%2B%28-2%29*%28z-%28xy%2F2%29%29*%28y%2Fx%29
Co chyba zgadza się z rozwiązaniem
\(\displaystyle{ \left( \frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right) \cdot \left( -2z+xy\right)=x^{2}-\frac{2zx}{y}-\frac{2zy}{x}+y^{2}}\)
Wolfram ->
Kod: Zaznacz cały
https://www.wolframalpha.com/input?i=%28%28y%2Fx%29%2B%28x%2Fy%29%29*%28-2z%2Bxy%29
Ale zastanawia mnie z jakiej metody podstawiania korzystała osoba, że otrzymała iloczyn dwóch nawiasów? I trochę martwi mnie fakt, że w sumie do podstawienia za
\(\displaystyle{ x^{2}=-\frac{2 \spadesuit}{\clubsuit}}\) doszedł po rozwiązaniu układu równań, a do podstawienia za
\(\displaystyle{ y^{2}=-2 \spadesuit \clubsuit}\) z przypadkowego wpadnięcia na mnożenie dwóch podstawień i potem zauważyłem, że jest
\(\displaystyle{ y^{2}}\) w równaniu i wystarczy współczynniki zmienić żeby został sam
\(\displaystyle{ y^{2}}\).
Czy zna Pan może sposób z krokami po kolei, żeby zawsze dojść do wyniku, do odpowiednich podstawień co należy pierwsze zrobić? Bo nie rozumiem czy żeby rozwiązać układ równań to muszę skorzystać z równania, że
\(\displaystyle{ \spadesuit=\clubsuit}\) Czy z jednego wyznaczyć np. x i podstawić do drugiego.
Lub może jest jakaś inna opcja żeby właśnie otrzymać jak ta osoba, iloczyn nawiasów?
PS: W pierwszy poście Pan pisał:
Janusz Tracz pisze: ↑5 sty 2024, o 20:07
A ponieważ
\(\displaystyle{ u(x,y,z)}\) ma dodatkowo spełniać warunek
\(\displaystyle{ u(1,y,z)=yz}\) jest to tak naprawdę warunek na funkcję
\(\displaystyle{ F}\) (lub potencjalnie na całą klasę takich funkcji).
Stąd pytanie czy dla tego typu warunków, zawsze otrzymuje się dokładnie jedno to samo rozwiązanie szczególne, bo pisał Pan o "całej klasie funkcji".
