Matematyka.pl

Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ xu_{x}+yu_y=u}\) dla \(\displaystyle{ x=\cos(t),y=\sin(t),u=1}\)

Gdyby nie podane założenia/warunki (nie wiem jak to nazwać do końca), bo zwykle rozwiązywałem zwykłe równania cząstkowe z warunkami brzegowymi.

I nie wiem czy w tym przypadku też należy tak zrobić tzn. dojść do ogólnego rozwiązania w ten sposób:
\(\displaystyle{ \frac{dx}{x}=\frac{dy}{y}=\frac{du}{u}}\)

Więc:
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x}=\frac{dy}{y}}\)
\(\displaystyle{ ln|C_{2} \cdot x|=ln|u|}\)
\(\displaystyle{ C_{2}=\frac{y}{x}}\)

Oraz:
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x}=\int \frac{du}{u}}\)
\(\displaystyle{ ln|C_{2} \cdot x|=ln|u|}\)
\(\displaystyle{ C_{2}=\frac{u}{x}}\)

Stąd równanie ogólne ma postać: \(\displaystyle{ C_{2}=F(C_{1}) \Rightarrow u(x,y)=xF(\frac{y}{x})}\)

Ale co dalej jak wykorzystać podstawienia/warunki dane w zadaniu?
\(\displaystyle{ u(x,y)=xF(\frac{y}{x}) \Rightarrow 1=\cos(t)\cdot F(\frac{\sin(t)}{\cos(t)}}\)

Ale niewiele mi to daje, nie wiem jak dojść do rozwiązania szczególnego. Na "innym forum" napisali coś w stylu, że trzeba by użyć "metod charakterystyk w celu otrzymania wartości z okręgu jednostkowego".

Niestety nie wiem jak ta metoda wygląda i jak ją zastosować do tego przypadku. Czy ktoś mógłby pomóc mi w tym zadaniu?

Gregory99 pisze: ↑15 sty 2024, o 21:48 \(\displaystyle{ u(x,y)=xF(\frac{y}{x}) \Rightarrow 1=\cos(t)\cdot F(\frac{\sin(t)}{\cos(t)})}\)
Ale niewiele mi to daje, nie wiem jak dojść do rozwiązania szczególnego.

Skoro
to


O ile pierwsze trzy są mało przydatne to ostatnie pozwala (po kilku trygonometrycznych przekształceniach) zapisać, że


A to oznacza, że


Na oko widać, że równanie spełnione i warunek też.

Gregory99 pisze: ↑15 sty 2024, o 21:48 Na "innym forum" napisali coś w stylu, że trzeba by użyć "metod charakterystyk w celu otrzymania wartości z okręgu jednostkowego".

To jest relatywnie dobra rada. To była też moja pierwsza myśl. Choć jak widać nie jest to konieczne. Coś jednak policzę. Równanie charakterystyk dla semiliniowych zagadnień ma postać

Niestety zmieniłem trochę oznaczenia ale to ze względu na interpretację. Teraz \(\displaystyle{ s\in [0,2\pi]}\) jest parametrem z którego wychodzą charakterystyki które stanowią włókna powierzchni opisującej rozwiązanie. Mówiąc obrazowo powierzchnia \(\displaystyle{ \Sigma :\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3}\) parametryzowana \(\displaystyle{ (t,s)\mapsto (x,y,u)}\) stanowi uwikłaną postać rozwiązania. Na szczęście ukąłd ten ma proste rozwiązanie \(\displaystyle{ x(t,{\color{blue}s})= e^t\cos s}\), \(\displaystyle{ y(t,{\color{blue}s})= e^t\sin s}\) oraz \(\displaystyle{ u(t,{\color{blue}s})= e^t}\). Znów trochę nadużywam notacji wymuszając zależność \(\displaystyle{ x,y,u}\) od parametru \(\displaystyle{ s}\). Tak czy inaczej łatwo widać, że


Zatem \(\displaystyle{ e^{2t}=x^2+y^2 }\). I ostatecznie \(\displaystyle{ u= \sqrt{x^2+y^2} }\).

Janusz Tracz pisze: ↑15 sty 2024, o 23:28

O ile pierwsze trzy są mało przydatne to ostatnie pozwala (po kilku trygonometrycznych przekształceniach) zapisać, że

\(\displaystyle{ F(\xi) = \frac{1}{\cos\left( \arctg \left( \xi\right) \right) } = \sqrt{\xi^2+1} . }\)

\(\displaystyle{ F\left( \tg t\right)=\frac{1}{\cos t}=\sec t}\)
\(\displaystyle{ \sec t=\text{sgn}\,(\sec t) \cdot \sqrt{\sec^{2} t}}\)
\(\displaystyle{ \sin^{2}t+\cos^{2}t=1|:\cos^{2}t}\)
\(\displaystyle{ \tg^{2}t+1=\sec^{2}t}\)
\(\displaystyle{ u(x,y)=xF(\frac{y}{x})=x\text{sgn}\,(x)\cdot \sqrt{1+\frac{y^{2}}{x^{2}}}=|x|\sqrt{1+\frac{y^{2}}{x^{2}}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\)

Jak udowodnić, że \(\displaystyle{ x\text{sgn}\,(x)=|x|}\)?

Gregory99 pisze: ↑18 sty 2024, o 14:06 Jak udowodnić, że \(\displaystyle{ x\text{sgn}\,(x)=|x|}\)?

Wprost z definicji \(\displaystyle{ |\cdot|}\) oraz \(\displaystyle{ \mathrm{sgn}}\). Można by powiedzieć, że ta równość wręcz definiuje znaczenie wartości bezwzględnej.