Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ xu_{x}+yu_y=u}\) dla \(\displaystyle{ x=\cos(t),y=\sin(t),u=1}\)
Gdyby nie podane założenia/warunki (nie wiem jak to nazwać do końca), bo zwykle rozwiązywałem zwykłe równania cząstkowe z warunkami brzegowymi.
I nie wiem czy w tym przypadku też należy tak zrobić tzn. dojść do ogólnego rozwiązania w ten sposób:
\(\displaystyle{ \frac{dx}{x}=\frac{dy}{y}=\frac{du}{u}}\)
Więc:
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x}=\frac{dy}{y}}\)
\(\displaystyle{ ln|C_{2} \cdot x|=ln|u|}\)
\(\displaystyle{ C_{2}=\frac{y}{x}}\)
Oraz:
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x}=\int \frac{du}{u}}\)
\(\displaystyle{ ln|C_{2} \cdot x|=ln|u|}\)
\(\displaystyle{ C_{2}=\frac{u}{x}}\)
Stąd równanie ogólne ma postać: \(\displaystyle{ C_{2}=F(C_{1}) \Rightarrow u(x,y)=xF(\frac{y}{x})}\)
Ale co dalej jak wykorzystać podstawienia/warunki dane w zadaniu?
\(\displaystyle{ u(x,y)=xF(\frac{y}{x}) \Rightarrow 1=\cos(t)\cdot F(\frac{\sin(t)}{\cos(t)}}\)
Ale niewiele mi to daje, nie wiem jak dojść do rozwiązania szczególnego. Na "innym forum" napisali coś w stylu, że trzeba by użyć "metod charakterystyk w celu otrzymania wartości z okręgu jednostkowego".
Niestety nie wiem jak ta metoda wygląda i jak ją zastosować do tego przypadku. Czy ktoś mógłby pomóc mi w tym zadaniu?
Równanie różniczkowe cząstkowe - jak wstawić podane założenia/warunki?
Równanie różniczkowe cząstkowe - jak wstawić podane założenia/warunki?
Ostatnio zmieniony 15 sty 2024, o 22:01 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie używaj wzorów w tytule tematu.
Powód: Nie używaj wzorów w tytule tematu.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4077
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Równanie różniczkowe cząstkowe - jak wstawić podane założenia/warunki?
Skoro
\(\displaystyle{ F(\tg \, t) = \frac{1}{\cos t} }\)
to \(\displaystyle{ F(\tg \,\clubsuit ) = \frac{1}{\cos \clubsuit }, \qquad F(\tg\, \spadesuit ) = \frac{1}{\cos \spadesuit }, \qquad F(\tg\, \bigstar ) = \frac{1}{\cos \bigstar }, \qquad F(\tg \left( \arctg \left( \xi\right) \right) ) = \frac{1}{\cos\left( \arctg \left( \xi\right) \right) }. }\)
O ile pierwsze trzy są mało przydatne to ostatnie pozwala (po kilku trygonometrycznych przekształceniach) zapisać, że
\(\displaystyle{ F(\xi) = \frac{1}{\cos\left( \arctg \left( \xi\right) \right) } = \sqrt{\xi^2+1} . }\)
A to oznacza, że
\(\displaystyle{ u(x,y)= x F\left( \frac{y}{x}\right) = x\sqrt{\left( \frac{y}{x} \right)^2+1 } = \sqrt{x^2+y^2}. }\)
Na oko widać, że równanie spełnione i warunek też.
To jest relatywnie dobra rada. To była też moja pierwsza myśl. Choć jak widać nie jest to konieczne. Coś jednak policzę. Równanie charakterystyk dla semiliniowych zagadnień ma postać
\(\displaystyle{ \begin{cases} \displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{dt}}=x \quad x(0)=\cos s \\[1.5ex] \displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{dt}}=y \quad y(0)=\sin s \\[1.5ex] \displaystyle \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{dt}}=u \quad u(0)=1 \end{cases}}\)
Niestety zmieniłem trochę oznaczenia ale to ze względu na interpretację. Teraz \(\displaystyle{ s\in [0,2\pi]}\) jest parametrem z którego wychodzą charakterystyki które stanowią włókna powierzchni opisującej rozwiązanie. Mówiąc obrazowo powierzchnia \(\displaystyle{ \Sigma :\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3}\) parametryzowana \(\displaystyle{ (t,s)\mapsto (x,y,u)}\) stanowi uwikłaną postać rozwiązania. Na szczęście ukąłd ten ma proste rozwiązanie \(\displaystyle{ x(t,{\color{blue}s})= e^t\cos s}\), \(\displaystyle{ y(t,{\color{blue}s})= e^t\sin s}\) oraz \(\displaystyle{ u(t,{\color{blue}s})= e^t}\). Znów trochę nadużywam notacji wymuszając zależność \(\displaystyle{ x,y,u}\) od parametru \(\displaystyle{ s}\). Tak czy inaczej łatwo widać, że
\(\displaystyle{ \left( \frac{x(t,s)}{e^t} \right)^2+\left( \frac{y(t,s)}{e^t} \right)^2=1 }\)
Zatem \(\displaystyle{ e^{2t}=x^2+y^2 }\). I ostatecznie \(\displaystyle{ u= \sqrt{x^2+y^2} }\).
Re: Równanie różniczkowe cząstkowe - jak wstawić podane założenia/warunki?
\(\displaystyle{ F\left( \tg t\right)=\frac{1}{\cos t}=\sec t}\)Janusz Tracz pisze: ↑15 sty 2024, o 23:28
O ile pierwsze trzy są mało przydatne to ostatnie pozwala (po kilku trygonometrycznych przekształceniach) zapisać, że\(\displaystyle{ F(\xi) = \frac{1}{\cos\left( \arctg \left( \xi\right) \right) } = \sqrt{\xi^2+1} . }\)
\(\displaystyle{ \sec t=\text{sgn}\,(\sec t) \cdot \sqrt{\sec^{2} t}}\)
\(\displaystyle{ \sin^{2}t+\cos^{2}t=1|:\cos^{2}t}\)
\(\displaystyle{ \tg^{2}t+1=\sec^{2}t}\)
\(\displaystyle{ u(x,y)=xF(\frac{y}{x})=x\text{sgn}\,(x)\cdot \sqrt{1+\frac{y^{2}}{x^{2}}}=|x|\sqrt{1+\frac{y^{2}}{x^{2}}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\)
Jak udowodnić, że \(\displaystyle{ x\text{sgn}\,(x)=|x|}\)?
Ostatnio zmieniony 18 sty 2024, o 17:08 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4077
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Równanie różniczkowe cząstkowe - jak wstawić podane założenia/warunki?
Wprost z definicji \(\displaystyle{ |\cdot|}\) oraz \(\displaystyle{ \mathrm{sgn}}\). Można by powiedzieć, że ta równość wręcz definiuje znaczenie wartości bezwzględnej.