Rozwiązać
\(\displaystyle{ y'- \frac{2y^2}{x} = \frac{y}{2x} + 4.}\)
Równanie Riccatiego
-
- Użytkownik
- Posty: 264
- Rejestracja: 1 lut 2015, o 19:20
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 70 razy
Równanie Riccatiego
Ostatnio zmieniony 23 maja 2023, o 00:04 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.
Powód: Interpunkcja.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: Równanie Riccatiego
Równania Riccatiego są na ogół dość trudne do rozwiązania ale jeśli uda nam się odgadnąć choć jedną całkę szczególną
to można dość łatwo sprowadzić je do równania Bernoulliego bądź liniowego pierwszego rzędu
Można próbować sprowadzić równanie do postaci kanonicznej i sprawdzić czy nie jest to specjalne równanie Riccatiego
Jak to nie pomoże to trzeba by sprowadzić je do równania liniowego ale drugiego rzędu
Gdybyśmy mieli równanie
\(\displaystyle{ y'=2y^2+\frac{y}{2x}+\frac{4}{x^2}}\)
to moglibyśmy przewidywać całkę szczególną w postaci \(\displaystyle{ y=\frac{a}{x}}\)
(a wyszłoby zespolone ale to nie szkodzi)
Dodano po 1 godzinie 14 minutach 34 sekundach:
\(\displaystyle{ y'= \frac{2y^2}{x} + \frac{y}{2x} + 4\\
y\left( x\right) =u\left( x\right)z\left( x\right)\\
y' = u'z+uz'\\
u'z+uz' = \frac{2}{x}u^2z^2+\frac{1}{2}uz+4\\
uz' =\frac{2}{x}u^2z^2 +\left(\frac{1}{2}u-u' \right)z + 4\\
u = \frac{2}{x}u^2\\
1= \frac{2}{x}u\\
u = \frac{x}{2}\\
\frac{1}{2}z+\frac{x}{2}z' = \frac{2}{x} \cdot \frac{x^2}{4} \cdot z^2+\frac{1}{2x} \cdot \frac{x}{2}z+4\\
\frac{1}{2}z+\frac{x}{2}z' = \frac{x}{2} \cdot z^2+\frac{1}{4}z+4\\
\frac{x}{2}z' = \frac{x}{2} \cdot z^2 - \frac{1}{4}z+4\\
z' = z^2 -\frac{1}{2x}z+\frac{8}{x}\\
z=u+v\\
u'+v' = \left( u+v\right)^2- \frac{1}{2x}\left( u+v\right) +\frac{8}{x} \\
u' + v' = u^2+2uv+v^2- \frac{1}{2x}u - \frac{1}{2x}v+\frac{8}{x} \\
u' + v' = u^2+\left( 2v-\frac{1}{2x}\right) u +v^2- \frac{1}{2x}v+\frac{8}{x}\\
2v-\frac{1}{2x} = 0\\
v = \frac{1}{4x}\\
u' - \frac{1}{4x^2} = u^2 +\frac{1}{16x^2} - \frac{1}{8x^2}+\frac{8}{x}\\
u' = u^2+\frac{3}{16x^2}+\frac{8}{x}\\
}\)
Nie jest to specjalne równanie Riccatiego
Spróbujmy sprowadzić je do liniowego drugiego rzędu
\(\displaystyle{
w = e^{-\int{u\left( x\right) \dd x }}\\
w' = -ue^{-\int{u\left( x\right) \dd x }}\\
w' = -uw\\
u=-\frac{w'}{w}\\
u' = -\frac{w''w-w' \cdot w'}{w^2}\\
-\frac{w''w-w' \cdot w'}{w^2}=\left( -\frac{w'}{w}\right)^2+ \frac{3}{16x^2}+\frac{8}{x}\\
-\frac{w''}{w} + \left( \frac{w'}{w}\right)^2 = \left( \frac{w'}{w}\right)^2 + \frac{3}{16x^2}+\frac{8}{x}\\
-\frac{w''}{w} = \frac{3}{16x^2}+\frac{8}{x}\\
\frac{w''}{w} = -\left(\frac{3}{16x^2}+\frac{8}{x} \right)\\
w'' = -\left(\frac{3}{16x^2}+\frac{8}{x} \right)w\\
w'' + \left(\frac{3}{16x^2}+\frac{8}{x} \right)w = 0\\
x^2w'' + \left( 8x + \frac{3}{16}\right)w = 0
}\)
Teraz spróbuj wstawić szereg potęgowy
\(\displaystyle{ w = \sum_{n=0}^{ \infty }c_{n}x^{n}}\)
Dodano po 2 godzinach 11 minutach 16 sekundach:
A nie podstawienie takiego szeregu potęgowego nie zadziała tutaj może być przydatna metoda Frobeniusa
Co do tej metody Frobeniusa to musiałabyś dokładniej o niej poczytać bo zdaje się że nie do końca wiem o co w niej chodzi
Szereg który podstawiasz powinien wyglądać chyba jednak tak
\(\displaystyle{ w = \sum_{n=0}^{ \infty }c_{n}\left( x-x_{0}\right)^{n+r} }\)
ale nie jestem pewien bo nie mam przećwiczonej tej metody
Dodano po 1 godzinie 55 minutach 34 sekundach:
\(\displaystyle{ x^2w''+\left( 8x+\frac{3}{16}\right)w=0\\
w = \sum_{n=0}^{ \infty } c_{n}x^{n+r}\\
w' = \sum_{n=0}^{ \infty }\left( n+r\right)c_{n}x^{n+r-1} \\
w'' = \sum_{n=0}^{ \infty }\left( n+r\right)\left( n+r-1\right)c_{n}x^{n+r-2} \\
x^2\left(\sum_{n=0}^{ \infty }\left( n+r\right)\left( n+r-1\right)c_{n}x^{n+r-2} \right) +8x\left( \sum_{n=0}^{ \infty }c_{n}x^{n+r} \right) +\frac{3}{16}\left( \sum_{n=0}^{ \infty }c_{n}x^{n+r} \right)=0\\
\sum_{n=0}^{ \infty }\left( n+r\right)\left( n+r-1\right)c_{n}x^{n+r}+\sum_{n=0}^{ \infty }8c_{n}x^{n+r+1}+\sum_{n=0}^{ \infty }\frac{3}{16}c_{n}x^{n+r} = 0\\
r\left( r-1\right)c_{0}x^{r} + \sum_{n=1}^{ \infty }\left( n+r\right)\left( n+r-1\right)c_{n}x^{n+r} + \sum_{n=0}^{ \infty }8c_{n}x^{n+r+1} + \frac{3}{16}c_{0}x^{r}+ \sum_{n=1}^{ \infty }\frac{3}{16}c_{n}x^{n+r} = 0\\
\left( r^2-r+\frac{3}{16}\right)c_{0}x^{r}+ \sum_{n=0}^{ \infty }\left( n+r\right)\left( n+r+1\right)c_{n+1}x^{n+r+1}+\sum_{n=0}^{ \infty }8c_{n}x^{n+r+1}+\sum_{n=1}^{ \infty }\frac{3}{16}c_{n+1}x^{n+r+1} = 0\\
\left( r^2-r+\frac{3}{16}\right)c_{0}x^{r}+ \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( \left( \left( n+r\right)\left( n+r+1\right)+\frac{3}{16} \right)c_{n+1} + 8c_{n}\right)x^{n+r+1} } =0\\
r^2-r+\frac{3}{16}=0\\
\left( r-\frac{1}{2}\right) ^2-\frac{1}{4}+\frac{3}{16}=0\\
\left( r-\frac{1}{2}\right) ^2-\frac{4}{16}+\frac{3}{16}=0\\
\left( r-\frac{1}{2}\right) ^2-\frac{1}{16}=0\\
\left( r-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)\left( r-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right) =0\\
\left( r - \frac{3}{4}\right)\left( r-\frac{1}{4}\right) =0\\
}\)
Dla \(\displaystyle{ r=\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ \left( \left( n+\frac{1}{4}\right)\left( n+\frac{5}{4}\right)+\frac{3}{16} \right)c_{n+1}+8c_{n}=0\\
\left( n^2+\frac{5}{4}n+\frac{1}{4}n+\frac{5}{16}+\frac{3}{16}\right)c_{n+1} + 8c_{n}=0\\
\left( n^2+\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\right)c_{n+1}+ 8c_{n} = 0\\
\left( n+1\right)\left( n+\frac{1}{2}\right)c_{n+1}+ 8c_{n} = 0\\
c_{n+1} = \frac{-8}{\left( n+1\right)\left( n+\frac{1}{2}\right) }c_{n}
}\)
Mamy zatem
\(\displaystyle{
\begin{cases} c_{0} \in \mathbb{R} \\c_{n+1} = \frac{-8}{\left( n+1\right)\left( n+\frac{1}{2}\right) }c_{n} \end{cases} \\
}\)
Wzór ogólny na wyrazy szeregu będzie wyrażony funkcją \(\displaystyle{ \Gamma\left( x\right) }\)
Dodano po 31 minutach 41 sekundach:
Całka szczególna równania \(\displaystyle{ x^2w''+\left( 8x+\frac{3}{16}\right)w = 0 }\)
to \(\displaystyle{ w_{1} = \sqrt[4]{x}\cos{\left( 4 \sqrt{2} \cdot \sqrt{x} \right) } }\)
a mając całkę szczególną można obniżać rząd równania
Nie wpadłbym jednak na tę całkę szczególną bez metody Frobeniusa
Dodano po 55 minutach 24 sekundach:
Ostatecznie po uproszczeniach otrzymałem
\(\displaystyle{ y=\sqrt{2} \cdot \sqrt{x} \cdot \tg\left( 4 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{x} - C\right) }\)
to można dość łatwo sprowadzić je do równania Bernoulliego bądź liniowego pierwszego rzędu
Można próbować sprowadzić równanie do postaci kanonicznej i sprawdzić czy nie jest to specjalne równanie Riccatiego
Jak to nie pomoże to trzeba by sprowadzić je do równania liniowego ale drugiego rzędu
Gdybyśmy mieli równanie
\(\displaystyle{ y'=2y^2+\frac{y}{2x}+\frac{4}{x^2}}\)
to moglibyśmy przewidywać całkę szczególną w postaci \(\displaystyle{ y=\frac{a}{x}}\)
(a wyszłoby zespolone ale to nie szkodzi)
Dodano po 1 godzinie 14 minutach 34 sekundach:
\(\displaystyle{ y'= \frac{2y^2}{x} + \frac{y}{2x} + 4\\
y\left( x\right) =u\left( x\right)z\left( x\right)\\
y' = u'z+uz'\\
u'z+uz' = \frac{2}{x}u^2z^2+\frac{1}{2}uz+4\\
uz' =\frac{2}{x}u^2z^2 +\left(\frac{1}{2}u-u' \right)z + 4\\
u = \frac{2}{x}u^2\\
1= \frac{2}{x}u\\
u = \frac{x}{2}\\
\frac{1}{2}z+\frac{x}{2}z' = \frac{2}{x} \cdot \frac{x^2}{4} \cdot z^2+\frac{1}{2x} \cdot \frac{x}{2}z+4\\
\frac{1}{2}z+\frac{x}{2}z' = \frac{x}{2} \cdot z^2+\frac{1}{4}z+4\\
\frac{x}{2}z' = \frac{x}{2} \cdot z^2 - \frac{1}{4}z+4\\
z' = z^2 -\frac{1}{2x}z+\frac{8}{x}\\
z=u+v\\
u'+v' = \left( u+v\right)^2- \frac{1}{2x}\left( u+v\right) +\frac{8}{x} \\
u' + v' = u^2+2uv+v^2- \frac{1}{2x}u - \frac{1}{2x}v+\frac{8}{x} \\
u' + v' = u^2+\left( 2v-\frac{1}{2x}\right) u +v^2- \frac{1}{2x}v+\frac{8}{x}\\
2v-\frac{1}{2x} = 0\\
v = \frac{1}{4x}\\
u' - \frac{1}{4x^2} = u^2 +\frac{1}{16x^2} - \frac{1}{8x^2}+\frac{8}{x}\\
u' = u^2+\frac{3}{16x^2}+\frac{8}{x}\\
}\)
Nie jest to specjalne równanie Riccatiego
Spróbujmy sprowadzić je do liniowego drugiego rzędu
\(\displaystyle{
w = e^{-\int{u\left( x\right) \dd x }}\\
w' = -ue^{-\int{u\left( x\right) \dd x }}\\
w' = -uw\\
u=-\frac{w'}{w}\\
u' = -\frac{w''w-w' \cdot w'}{w^2}\\
-\frac{w''w-w' \cdot w'}{w^2}=\left( -\frac{w'}{w}\right)^2+ \frac{3}{16x^2}+\frac{8}{x}\\
-\frac{w''}{w} + \left( \frac{w'}{w}\right)^2 = \left( \frac{w'}{w}\right)^2 + \frac{3}{16x^2}+\frac{8}{x}\\
-\frac{w''}{w} = \frac{3}{16x^2}+\frac{8}{x}\\
\frac{w''}{w} = -\left(\frac{3}{16x^2}+\frac{8}{x} \right)\\
w'' = -\left(\frac{3}{16x^2}+\frac{8}{x} \right)w\\
w'' + \left(\frac{3}{16x^2}+\frac{8}{x} \right)w = 0\\
x^2w'' + \left( 8x + \frac{3}{16}\right)w = 0
}\)
Teraz spróbuj wstawić szereg potęgowy
\(\displaystyle{ w = \sum_{n=0}^{ \infty }c_{n}x^{n}}\)
Dodano po 2 godzinach 11 minutach 16 sekundach:
A nie podstawienie takiego szeregu potęgowego nie zadziała tutaj może być przydatna metoda Frobeniusa
Co do tej metody Frobeniusa to musiałabyś dokładniej o niej poczytać bo zdaje się że nie do końca wiem o co w niej chodzi
Szereg który podstawiasz powinien wyglądać chyba jednak tak
\(\displaystyle{ w = \sum_{n=0}^{ \infty }c_{n}\left( x-x_{0}\right)^{n+r} }\)
ale nie jestem pewien bo nie mam przećwiczonej tej metody
Dodano po 1 godzinie 55 minutach 34 sekundach:
\(\displaystyle{ x^2w''+\left( 8x+\frac{3}{16}\right)w=0\\
w = \sum_{n=0}^{ \infty } c_{n}x^{n+r}\\
w' = \sum_{n=0}^{ \infty }\left( n+r\right)c_{n}x^{n+r-1} \\
w'' = \sum_{n=0}^{ \infty }\left( n+r\right)\left( n+r-1\right)c_{n}x^{n+r-2} \\
x^2\left(\sum_{n=0}^{ \infty }\left( n+r\right)\left( n+r-1\right)c_{n}x^{n+r-2} \right) +8x\left( \sum_{n=0}^{ \infty }c_{n}x^{n+r} \right) +\frac{3}{16}\left( \sum_{n=0}^{ \infty }c_{n}x^{n+r} \right)=0\\
\sum_{n=0}^{ \infty }\left( n+r\right)\left( n+r-1\right)c_{n}x^{n+r}+\sum_{n=0}^{ \infty }8c_{n}x^{n+r+1}+\sum_{n=0}^{ \infty }\frac{3}{16}c_{n}x^{n+r} = 0\\
r\left( r-1\right)c_{0}x^{r} + \sum_{n=1}^{ \infty }\left( n+r\right)\left( n+r-1\right)c_{n}x^{n+r} + \sum_{n=0}^{ \infty }8c_{n}x^{n+r+1} + \frac{3}{16}c_{0}x^{r}+ \sum_{n=1}^{ \infty }\frac{3}{16}c_{n}x^{n+r} = 0\\
\left( r^2-r+\frac{3}{16}\right)c_{0}x^{r}+ \sum_{n=0}^{ \infty }\left( n+r\right)\left( n+r+1\right)c_{n+1}x^{n+r+1}+\sum_{n=0}^{ \infty }8c_{n}x^{n+r+1}+\sum_{n=1}^{ \infty }\frac{3}{16}c_{n+1}x^{n+r+1} = 0\\
\left( r^2-r+\frac{3}{16}\right)c_{0}x^{r}+ \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( \left( \left( n+r\right)\left( n+r+1\right)+\frac{3}{16} \right)c_{n+1} + 8c_{n}\right)x^{n+r+1} } =0\\
r^2-r+\frac{3}{16}=0\\
\left( r-\frac{1}{2}\right) ^2-\frac{1}{4}+\frac{3}{16}=0\\
\left( r-\frac{1}{2}\right) ^2-\frac{4}{16}+\frac{3}{16}=0\\
\left( r-\frac{1}{2}\right) ^2-\frac{1}{16}=0\\
\left( r-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)\left( r-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right) =0\\
\left( r - \frac{3}{4}\right)\left( r-\frac{1}{4}\right) =0\\
}\)
Dla \(\displaystyle{ r=\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ \left( \left( n+\frac{1}{4}\right)\left( n+\frac{5}{4}\right)+\frac{3}{16} \right)c_{n+1}+8c_{n}=0\\
\left( n^2+\frac{5}{4}n+\frac{1}{4}n+\frac{5}{16}+\frac{3}{16}\right)c_{n+1} + 8c_{n}=0\\
\left( n^2+\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\right)c_{n+1}+ 8c_{n} = 0\\
\left( n+1\right)\left( n+\frac{1}{2}\right)c_{n+1}+ 8c_{n} = 0\\
c_{n+1} = \frac{-8}{\left( n+1\right)\left( n+\frac{1}{2}\right) }c_{n}
}\)
Mamy zatem
\(\displaystyle{
\begin{cases} c_{0} \in \mathbb{R} \\c_{n+1} = \frac{-8}{\left( n+1\right)\left( n+\frac{1}{2}\right) }c_{n} \end{cases} \\
}\)
Wzór ogólny na wyrazy szeregu będzie wyrażony funkcją \(\displaystyle{ \Gamma\left( x\right) }\)
Dodano po 31 minutach 41 sekundach:
Całka szczególna równania \(\displaystyle{ x^2w''+\left( 8x+\frac{3}{16}\right)w = 0 }\)
to \(\displaystyle{ w_{1} = \sqrt[4]{x}\cos{\left( 4 \sqrt{2} \cdot \sqrt{x} \right) } }\)
a mając całkę szczególną można obniżać rząd równania
Nie wpadłbym jednak na tę całkę szczególną bez metody Frobeniusa
Dodano po 55 minutach 24 sekundach:
Ostatecznie po uproszczeniach otrzymałem
\(\displaystyle{ y=\sqrt{2} \cdot \sqrt{x} \cdot \tg\left( 4 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{x} - C\right) }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 264
- Rejestracja: 1 lut 2015, o 19:20
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 70 razy
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: Równanie Riccatiego
Nie dali wam aż takiego złego przykładu
Dobry na przećwiczenie sprowadzania do równania liniowego drugiego rzędu
a także na przećwiczenie metody Frobeniusa
I nawet rekurencja wyszła stosunkowo łatwa do rozwiązania
Sprowadzanie do postaci kanonicznej to tak dodatkowo bo myślałem że coś ona uprości
albo że dostaniemy specjalne równanie Riccatiego
Jeden bawiąc się zagadnieniami z fizyki otrzymał równanie które nie było aż tak łatwo rozwiązać
Dodano po 10 dniach 2 godzinach 33 minutach 16 sekundach:
Podszedłem do tego schematycznie i nie zauważyłem że można było inaczej
Przed chwilą widziałem bardzo ładne rozwiązanie użytkownika janusz47
Wątek był umieszczony w dziale rachunek różniczkowy i dlatego tak późno na niego trafiłem
Oto odnośnik do niego
rachunek-rozniczkowy-f102/problem-z-row ... l#p5655641
Dobry na przećwiczenie sprowadzania do równania liniowego drugiego rzędu
a także na przećwiczenie metody Frobeniusa
I nawet rekurencja wyszła stosunkowo łatwa do rozwiązania
Sprowadzanie do postaci kanonicznej to tak dodatkowo bo myślałem że coś ona uprości
albo że dostaniemy specjalne równanie Riccatiego
Jeden bawiąc się zagadnieniami z fizyki otrzymał równanie które nie było aż tak łatwo rozwiązać
Dodano po 10 dniach 2 godzinach 33 minutach 16 sekundach:
Podszedłem do tego schematycznie i nie zauważyłem że można było inaczej
Przed chwilą widziałem bardzo ładne rozwiązanie użytkownika janusz47
Wątek był umieszczony w dziale rachunek różniczkowy i dlatego tak późno na niego trafiłem
Oto odnośnik do niego
rachunek-rozniczkowy-f102/problem-z-row ... l#p5655641