Matematyka.pl

\(\displaystyle{ y'-y=2xsinx \\

y'-y=0 \\

\frac{dy}{dx} =y \\

t \frac{dy}{y}= t dx \\

ln ft| y \right| |y|=x+C \\

y=e^{x}C \\

y_{2}=e^{x}C(x) \\ \frac{dy}{dx} = e^{x} C(x)+ e^{x}\frac{dC}{dx} \\

e^{x}C(x)+ e^{x}\frac{dC}{dx}-e^{x}C(x)=2xsinx \\

e^{x}\frac{dC}{dx}=2xsinx \\ \frac{dC}{dx} = \frac{2xsinx}{e^{x}} \\

C=\int \frac{2xsinx}{e^{x}} \\}\)

nie wiem jak obliczyć ta całkę

Wynik ma być taki:\(\displaystyle{ -e^{-x} ft[(x+1) \cos x +x \sin x \right] +C}\)

Jedyny sposób na rozwiązanie takiej całki to jest zastąpienie sin (x) ze wzoru Eulera:
\(\displaystyle{ \sin x= \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\)

Wtedy się to bardzo łatwo całkuje. Po scałkowaniu należy umiejętnie tak poprzestawiać funkcję, żeby wrócić z powrotem ze wzorów Eulera na postać trygonometryczną.

Pozdro

meninio, a jest moze inny spsób obliczenia tego równania aby całki byly łatwiejsze?

Wydaje mi się, że nie. Bo tej całki przez części na pewno nie zrobisz. Przez podstawienie też nie bardzo. Wg mnie tylko tak t idzie zrobić.

Jest latwiejszy Policzyc metoda przewidywan
\(\displaystyle{ \mbox{RJ:}\\
y_0'-y_0=0\\
y_0=e^{rx}\\
re^{rx}-e^{rx}=0\\
r-1=0\\
r=1\\
y_0=C_1e^{rx}\\
\mbox{RN:}\\
y'_1-y_1=2x\sinx \\
y_1=x^{k}e^{\alpha x}(w_1\cos\beta x+w_2\sin\beta x)\\
=0\\
\beta=1\\
z=\alpha+i\beta=i\ \mbox{nie ma go w RJ, wiec:}\ \ k=0\\
y_1=w_1\cos\beta+w_2\sin\beta\\
y_1=(Ax+B)\cos x+(Bx+C)\sin x\\
\\
y=y_0+y_1}\)

Teraz liczysz pochodna i wyliczasz \(\displaystyle{ y_1}\), podstawiasz i wyliczasz wspolczynniki POZDRO