Matematyka.pl

To moj pierwszy post, wiec na poczatku chcialem sie przywitac. A teraz do rzeczy:
mam takieg 3 zadania, ktorych za chinskiego boga nie moge ruszyc, mimo ze mialem to wczoraj na cwiczeniach nie goni mnie zaden termin, takze mozecie sie spokojnie namyslic oczywiscie z gory dziekuje za jakakolwiek pomoc.

1. Znalezc calke ogolna rownania liniowego \(\displaystyle{ y'+2y=x e ^{3x}}\)

tu nie jestem nawet w stanie tego doprowadzic do postaci \(\displaystyle{ y'+p(x)y=q(x)}\)

powinno wyjsc: \(\displaystyle{ y=\frac{x}{5}e^{3x}-\frac{1}{25}e^{3x}+K e^{-2x}}\)

2. Znalezc calke szczegolna rownania rozniczkowego \(\displaystyle{ y' + \frac{1}{x} y = cos(x)}\)

tutaj udalo mi sie zrobic tyle:
\(\displaystyle{ y'= - \frac{1}{x} y}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = \frac{-1}{x} y}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{y}= \frac{-1}{x} dx}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dy}{y}= \frac{-1}{x} dx}\)
\(\displaystyle{ ln|y|=-ln|x|+C}\)
\(\displaystyle{ ln|y|=ln|e^{-1}| ln|x| + ln|e^{C}|}\)
\(\displaystyle{ y = e ^{C-1} x}\)
\(\displaystyle{ y=C_{1} x}\)

po zrozniczkowaniu i wstawieniu do rownania \(\displaystyle{ y' + \frac{1}{x} y = cos(x)}\), \(\displaystyle{ C_{1}(x)}\) sie nie znosza, tak wiec chyba cos pokrecilem...

odpowiedz do tego: \(\displaystyle{ y=\frac{1}{x}(xsin(x)+cos(x)-\frac{\pi}{2})}\)

3. Wyznaczyc calke szczegolna rownania rozniczkowego 1-go rzedu o rodzielnych zmiennych \(\displaystyle{ x^{3}y' = y^{2}}\) spelniajaca warunek poczatkowy \(\displaystyle{ y(1)=2}\)

udalo mi sie zrobic tyle, ale to nie ma nic wspolnego z wynikiem:
\(\displaystyle{ x^{3}y'=y^{2}}\)
\(\displaystyle{ y'=\frac{y^{2}}{x^{3}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = \frac{y^{2}}{x^{3}}}\)
tu byl blad, poprawiam:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dy}{y^{2}} = \frac {dx}{x^{3}}}\)
i dalej:
\(\displaystyle{ \frac{-1}{y}=\frac{-1}{2x^{2}}}\)
czyli wychodzi dobrze \(\displaystyle{ y=2x^{2}}\)

2) moja wiedza jest znikoma na ten temat, ale jeśli tak ma być, to masz błąd w końcówce, moim zdaniem powinno być coś takiego:
\(\displaystyle{ \ln|y|=-\ln|x|+C \\
\ln|y|=\ln \frac{1}{|x|}+C \\
|y|=e^{\ln \frac{1}{|x|}+C} \\
y=\pm \frac{e^C}{x} \\
y=\frac{C_1}{x}}\)

... faktycznie ale wstyd.

podazajac tropem:
\(\displaystyle{ y=\frac{C_{1}}{x}}\)
\(\displaystyle{ y'=\frac{C_{1}'(x)\cdot x-C_{1}(x)}{x^{2}}}\)
[po operacjach ktorych mi sie nie chce klepac]
\(\displaystyle{ C_{1}'(x)=xcos(x)}\)
\(\displaystyle{ C_{1}(x)=cos(x)+x\cdot sin(x) + D}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{cos(x)+x sin(x)+D}{x}}\)
i tu po wyliczeniu D wychodza jakies krzaki a powinno wyjsc \(\displaystyle{ D=-\frac{\pi}{2}}\)

dzieki Szemek.



Edit[21]: zad. 1 juz rozwalilem, takze jakby ktos byl w trakcie to niech sobie da spokoj
Edit[21]: zle podstawialem w zad.2... wychodzi \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{2}}\). tym samym wszystko jest dobrze.

dziekuje Szemkowi.

temat mozna zamknac.