Równania różniczkowe rozdzielając zmienne.

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
BeHappy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 239
Rejestracja: 18 lis 2014, o 19:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 9 razy

Równania różniczkowe rozdzielając zmienne.

Post autor: BeHappy »

Witajcie w czwartek mam wejściówkę:

a)

\(\displaystyle{ \frac{\tg y}{\cos^{2}x}+\frac{\tg x}{\cos^{2}y} \cdot y^{'}=0}\)

\(\displaystyle{ y^{'} \cdot \frac{\tg x}{\cos^{2}y}=-\frac{\tg y}{\cos^{2}x}}\)

\(\displaystyle{ \frac{dy}{\tg y \cdot \cos^{2}y}=\frac{dx}{\tg x \cdot \cos^{2}x}}\)

\(\displaystyle{ \frac{dy}{\sin y \cdot \cos y}=\frac{dx}{\sin x \cdot \cos x}}\)

\(\displaystyle{ 2 \int \frac{dy}{\sin 2x}=2 \int \frac{dx}{sin 2x}}\)
+y
Dobrze myślę? Dobrze rozdzieliłem? Jeśli tak to jak policzyć teraz tą całkę?

b)

\(\displaystyle{ \left( x^{3}-3x^{2}+3x-1\right) dy=\left[ ((y-1)(x+1)-\frac{y-1}{x-1}\right] dx}\)

Zajmę się tylko upraszczaniem tego co pod nawiasem kwadratowym po prawej stronie:

\(\displaystyle{ \left[ ((y-1)(x+1)-\frac{y-1}{x-1}\right] = \left[ xy+y-x-1-\frac{y-1}{x-1}\right]=}\)

\(\displaystyle{ =\left[\frac{x^{2}y-xy+xy-y-x^{2}+x-x+1-y+1}{x-1}\right]=\left[ \frac{x^{2}(y-1)-2(y-1)}{x-1}\right]}\)

\(\displaystyle{ =\left[ \frac{(x^{2}-2)(y-1)}{x-1}\right]}\)



Wracam do równania:

\(\displaystyle{ \left( x^{3}-3x^{2}+3x-1\right) dy=\left[ \frac{(x^{2}-2)(y-1)}{x-1}\right]dx}\)

\(\displaystyle{ \frac{dy}{y-1}=\frac{(x^{2}-2)}{(x-1)^{4}} dx}\)


Dobrze? Jeśli tak co dalej?
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Równania różniczkowe rozdzielając zmienne.

Post autor: kerajs »

a)Między 2 a 3 linijką gubisz minus.

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{\sin2x} \mbox{d}x=...}\)
Standardowe podstawienie \(\displaystyle{ t=\tan x}\) w powyższej całce pokaże iż lepiej było całkować z postaci pierwotnej
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{\tan x \cos^2 x} \mbox{d}x =\left[ t=\tan x\right]= \int_{}^{} \frac{1}{t} \mbox{d}t=\ln \left| t\right|+C=\ln \left| \tan x\right| +C}\)

Inny sposób:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{\sin x \cos x} \mbox{d}x= \int_{}^{} \frac{\cos}{\sin x \cos ^2 x} \mbox{d}x=\int_{}^{} \frac{\cos}{\sin x (1-\sin ^2 x)} \mbox{d}=\left[ t=\sin x\right] =\\= \int_{}^{} \frac{ \mbox{d}t}{t(1-t^2)} =....}\)

b)
Dobrze
Same całki to:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{y-1} \mbox{d}y=\ln \left| y-1\right|+C}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{x^2-2}{(x-1)^4} \mbox{d}x= \left[ t=x-1\right]= \int_{}^{} \frac{t^2+2t-1}{t^4} \mbox{d}t=
\frac{-1}{t}- \frac{1}{t^2} + \frac{1}{3t^3} +C}\)

Wracając do równania masz
\(\displaystyle{ \ln \left| y-1\right|= -\frac{1}{x-1}- \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{1}{3(x-1)^3} +C}\)
\(\displaystyle{ \ln \left| y-1\right|=\ln e^{ -\frac{1}{x-1}- \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{1}{3(x-1)^3}} +\ln C}\)
\(\displaystyle{ \ln \left| y-1\right|=\ln Ce^{ \frac{-3x^2+3x+1}{3(x-1)^3}}}\)
\(\displaystyle{ y=1+Ce^{ \frac{-3x^2+3x+1}{3(x-1)^3}}}\)
BeHappy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 239
Rejestracja: 18 lis 2014, o 19:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 9 razy

Równania różniczkowe rozdzielając zmienne.

Post autor: BeHappy »

kerajs pisze: \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{x^2-2}{(x-1)^4} \mbox{d}x= \left[ t=x-1\right]= \int_{}^{} \frac{t^2+2t-1}{t^4} \mbox{d}t=
\frac{-1}{t}- \frac{1}{t^2} + \frac{1}{3t^3} +C}\)
A jak otrzymałeś przez podstawienie ten licznik??

Tak?

\(\displaystyle{ t=x-1}\)

\(\displaystyle{ x^{2}-2=(x-1)^{2}+2x-2-1=(x-1)^{2}+2(x-1)-1}\) ??

-- 25 mar 2015, o 12:25 --
kerajs pisze:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{\sin2x} \mbox{d}x=...}\)
Standardowe podstawienie \(\displaystyle{ t=\tan x}\) w powyższej całce pokaże iż lepiej było całkować z postaci pierwotnej
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{\tan x \cos^2 x} \mbox{d}x =\left[ t=\tan x\right]= \int_{}^{} \frac{1}{t} \mbox{d}t=\ln \left| t\right|+C=\ln \left| \tan x\right| +C}\)

Inny sposób:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{\sin x \cos x} \mbox{d}x= \int_{}^{} \frac{\cos}{\sin x \cos ^2 x} \mbox{d}x=\int_{}^{} \frac{\cos}{\sin x (1-\sin ^2 x)} \mbox{d}=\left[ t=\sin x\right] =\\= \int_{}^{} \frac{ \mbox{d}t}{t(1-t^2)} =....}\)

Jak wygląda dalej całka tym innym sposobem rozbicie na ułamki proste?
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Równania różniczkowe rozdzielając zmienne.

Post autor: kerajs »

b.
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{x^2-2}{(x-1)^4} \mbox{d}x= \left[ t=x-1\right]= \int_{}^{} \frac{t^2+2t-1}{t^4} \mbox{d}t= \frac{-1}{t}- \frac{1}{t^2} + \frac{1}{3t^3} +C}\)
Tę całkę zwykle rozwiązuje się przez rozkład na ułamki proste. Ja, ze względu na specyficzny mianownik, stosuję podstawienie (jest ono nawet napisane w nawiasie kwadratowym traktowanym tu jako komentarz) które mocno ją upraszcza.
\(\displaystyle{ t=x-1 \Rightarrow x=t+1}\)
\(\displaystyle{ x^{2}-2=(t+1)^{2}-2=t^{2}+2t+1-2=t^2+2t-1}\)



a.
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{\sin x \cos x} \mbox{d}x= \int_{}^{} \frac{\cos}{\sin x \cos ^2 x} \mbox{d}x=\int_{}^{} \frac{\cos}{\sin x (1-\sin ^2 x)} \mbox{d}=\left[ t=\sin x\right] =\\= \int_{}^{} \frac{ \mbox{d}t}{t(1-t^2)} = \int_{}^{} \left( \frac{1}{t}+ \frac{ \frac{-1}{2} }{t-1}+\frac{ \frac{-1}{2} }{t+1} \right) \mbox{d}x =\ln\left| t\right| - \frac{1}{2} \ln\left| t^2-1\right|+C=\\=\ln\left| \sin x\right| - \frac{1}{2} \ln\left| \sin^2 x-1\right|+C=\ln\left| \sin x\right| - \frac{1}{2} \ln\left| -\cos^2 x\right|+C=\\=\ln\left| \sin x\right| - \ln\left| \cos x\right|+C=\ln\left| \tan x\right| +C}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Równania różniczkowe rozdzielając zmienne.

Post autor: a4karo »

ad a.
\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{\sin x\cos x}=\frac{\cos x}{\sin x\cos^2x}dx=\int\frac{d \tan x}{\tan x}=\ln\lvert\tan x\rvert+C}\)
ODPOWIEDZ