Matematyka.pl

Cześć.

Potrzebowałbym pomocy przy rozwiązaniu następujących równań:

1.\(\displaystyle{ \left( \sqrt{xy} - \sqrt{x} \right) \frac{dy}{dx} - y = 0}\)

2.\(\displaystyle{ x \frac{dy}{dx} +(1-x)y = xe ^{x}}\)

3.\(\displaystyle{ \left( y+xy \right)dx + \left( x-xy\right)dy = 0}\)

Oraz w całkowaniu tego:

4. \(\displaystyle{ xdy - ydx = ydy}\)

Pomogłoby mi dużo zobaczyć rozwiązania tych równań krok po kroku.

1. Równanie o rozdzielonych zmiennych
2. Równanie liniowe
3. Równanie o rozdzielonych zmiennych
4. Równanie jednorodne


1.

\(\displaystyle{ \left( \sqrt{xy} - \sqrt{x} \right) \frac{dy}{dx} - y = 0\\
\sqrt{x}\left( \sqrt{y}-1 \right) \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }-y=0\\
\sqrt{x} \cdot \frac{ \sqrt{y}-1 }{y} \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }-1=0\\
\frac{\sqrt{y}-1}{y} \mbox{d}y= \frac{1}{ \sqrt{x} } \mbox{d}x \\
2\sqrt{y}-\ln{\left| y\right| }=2 \sqrt{x}+C\\
2\sqrt{y}-\ln{\left| y\right| }-2 \sqrt{x}=C}\)



2.

\(\displaystyle{ x \frac{dy}{dx} +(1-x)y = xe ^{x}\\
x \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x}+\left( 1-x\right)y=0\\
x\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x}=-\left( 1-x\right)y\\
\frac{ \mbox{d}y}{y}= -\frac{1-x}{x} \mbox{d}x \\
\ln{\left| y\right| }=-\ln{x}+x+C\\
y=Cx^{-1}e^{x}\\
y\left( x\right)=C\left( x\right)x^{-1}e^{x}\\
x\left( C^{\prime}\left( x\right)x^{-1}e^{x}+C\left( x\right)e^{x}\left( -x^{-2}+x^{-1}\right) \right)+\left( 1-x\right)Cx^{-1}e^{x}=xe^{x}\\
C^{\prime}\left( x\right)e^{x}=xe^{x}\\
C^{\prime}\left( x\right)=x\\
C\left( x\right)= \frac{1}{2}x^2+C\\
y= \left( \frac{1}{2}x^2+C \right) \cdot \frac{e^{x}}{x}}\)

3.

\(\displaystyle{ \left( y+xy \right)dx + \left( x-xy\right)dy = 0\\
y\left( 1+x\right) \mbox{d}x +x\left( 1-y\right) \mbox{d}y=0\\
y\left( 1+x\right) \mbox{d}x=-x\left( 1-y\right) \mbox{d}y\\
\frac{1+x}{x} \mbox{d}x =- \frac{1-y}{y} \mbox{d}y\\
\ln{\left| x\right| }+x+C=-\ln{\left| y\right| }+y\\
x-y+\ln{\left| y\right| }+\ln{\left| x\right| }=C}\)

4.

\(\displaystyle{ xdy - ydx = ydy\\
-y \mbox{d}x +\left( x-y\right) \mbox{d}y=0\\
- \frac{y}{x} +\left( 1- \frac{y}{x} \right) \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }=0\\
y=ux\\
-u+\left( 1-u\right)\left( u^{\prime}x+u\right)=0\\
\left( 1-u\right)\left( u^{\prime}x+u \right)=u\\
u^{\prime}x+u= \frac{u}{1-u}\\
u^{\prime}x= \frac{u-u+u^2}{1-u}\\
\frac{1-u}{u^2} \mbox{d}u= \frac{ \mbox{d}x }{x}\\
- \frac{1}{u}-\ln{|u|}=\ln{\left| x\right| }+C\\
ue^{ \frac{1}{u} }= \frac{C}{x}\\
\frac{y}{x}e^{ \frac{x}{y} }= \frac{C}{x}\\
ye^{ \frac{x}{y} }=C}\)