Matematyka.pl

Póki co zrobiłem pierwszy szereg. Może popełniłem gdzieś błąd, bo współczynniki wyzerowały mi się wręcz kaskadowo. Czy może to świadczyć o braku rozwiązania, czy trzeba wziąć kolejny szereg? Nie sprawdziłem jeszcze ogólnego równania, ale to już zrobię jutro:

\(\displaystyle{ cu_{n-6}-2au_{n-5}+[3b^2 c +4(n-5)(n-4)]u_{n-4} -4ab^2 u_{n-3} + b^2[3b^2 c + 4(n-2)(n-1)]u_{n-2} - 2ab^4 u_{n-1} + b^6cu_{n}=0}\).

Dodano po 3 dniach 17 godzinach 58 minutach 52 sekundach:
Przeanalizowałem sobie to jeszcze raz na spokojnie.

\(\displaystyle{ W_2(t)\psi''(t) + W_1(t)\psi’(t) + W_0(t)\psi(t) = 0 }\)

\(\displaystyle{ W_2(t) = 4t^6 + 4b^2 t^4 }\)
\(\displaystyle{ W_1(t) = 8b^2 t^3 }\)
\(\displaystyle{ W_2(t) = ct^6 + 3b^2 t^4 + 3b^4 t^2 + b^6 c - 2at^5 - 4ab^2 t^3 - 2ab^4 t }\)

\(\displaystyle{ \psi(t) = \sum_{n=0}^{\infty}u_nt^n }\)
\(\displaystyle{ \psi’(t) = \sum_{n=1}^{\infty}nu_nt^{n-1} }\)
\(\displaystyle{ \psi’’(t) = \sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)u_nt^{n-2} }\)

Rozpisałem to na poszczególne sumy:

\(\displaystyle{ 4t^6 \sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)u_nt^{n-2}
= \sum_{n=2}^{\infty}4n(n-1)u_nt^{n+4}}\)
\(\displaystyle{ 4b^2 t^4 \sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)u_nt^{n-2}
= \sum_{n=2}^{\infty}4b^2 n(n-1)u_nt^{n+2} }\)
\(\displaystyle{ 8b^2 t^3 \sum_{n=1}^{\infty}nu_nt^{n-1}
= \sum_{n=1}^{\infty}8b^2 nu_nt^{n+2} }\)
\(\displaystyle{ ct^6 \sum_{n=0}^{\infty}u_nt^n
= \sum_{n=0}^{\infty} c u_nt^{n+6} }\)
\(\displaystyle{ - 2at^5 \sum_{n=0}^{\infty}u_nt^n
= \sum_{n=0}^{\infty} (- 2)at^5u_n t^{n+5} }\)
\(\displaystyle{ 3b^2 t^4 \sum_{n=0}^{\infty}u_nt^n
= \sum_{n=0}^{\infty} 3b^2 u_nt^{n+4} }\)
\(\displaystyle{ - 4ab^2 t^3 \sum_{n=0}^{\infty}u_nt^n
= \sum_{n=0}^{\infty} (- 4)ab^2 t^3 u_nt^{n+3} }\)
\(\displaystyle{ 3b^4 t^2 \sum_{n=0}^{\infty}u_nt^n
= \sum_{n=0}^{\infty} 3b^4 u_nt^{n+2} }\)
\(\displaystyle{ - 2ab^4 t \sum_{n=0}^{\infty}u_nt^n
=\sum_{n=0}^{\infty} (- 2)ab^4 u_nt^{n+1} }\)
\(\displaystyle{ b^6 c \sum_{n=0}^{\infty}u_nt^n
= \sum_{n=0}^{\infty} b^6 c u_nt^n }\)

Zamieniłem indeksy:

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}4n(n-1)u_nt^{n+4}
= \sum_{n=6}^{\infty}4(n-4)(n-5)u_{n-4}t^{n} }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}4b^2 n(n-1)u_nt^{n+2}
= \sum_{n=4}^{\infty}4b^2 (n-2)(n-3)u_{n-2}t^{n} }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}8b^2 nu_nt^{n+2}
= \sum_{n=3}^{\infty}8b^2 (n-2)u_{n-2}t^{n}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} c u_nt^{n+6}
= \sum_{n=6}^{\infty} c u_{n-6}t^{n} }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} (- 2)at^5u_n t^{n+5}
= \sum_{n=5}^{\infty} (- 2)at^5u_{n-5} t^{n} }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} 3b^2 u_nt^{n+4}
= \sum_{n=4}^{\infty} 3b^2 u_{n-4}t^{n} }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} (- 4)ab^2 t^3 u_nt^{n+3}
= \sum_{n=3}^{\infty} (- 4)ab^2 t^3 u_{n-3}t^{n} }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} 3b^4 u_nt^{n+2}
= \sum_{n=2}^{\infty} 3b^4 u_{n-2}t^{n} }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} (- 2)ab^4 u_nt^{n+1}
= \sum_{n=1}^{\infty} (- 2)ab^4 u_{n-1}t^{n} }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} b^6 c u_nt^n }\)

Rozpisałem sumy:

\(\displaystyle{ \sum_{n=6}^{\infty}4(n-4)(n-5)u_{n-4}t^{n} }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=4}^{\infty}4b^2 (n-2)(n-3)u_{n-2}t^{n}
= 24b^2 u_3 t^5 + 8b^2 u_2 t^4 + \sum_{n=6}^{\infty}4b^2 (n-2)(n-3)u_{n-2}t^{n} }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=3}^{\infty}8b^2 (n-2)u_{n-2}t^{n}
= 24b^2 u_3 t^5 + 16b^2 u_2 t^4 + 8b^2 u_1 t^3 + \sum_{n=6}^{\infty}8b^2 (n-2)u_{n-2}t^{n}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=6}^{\infty} c u_{n-6}t^{n} }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=5}^{\infty} (- 2)at^5u_{n-5} t^{n}
= -2au_0 t^5 + \sum_{n=6}^{\infty} (- 2)at^5u_{n-5} t^{n} }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=4}^{\infty} 3b^2 u_{n-4}t^{n}
=3b^2 cu_1 t^5 +3b^2 cu_0 t^4 + \sum_{n=6}^{\infty} 3b^2 u_{n-4}t^{n} }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=3}^{\infty} (- 4)ab^2 t^3 u_{n-3}t^{n}
= -4ab^2 u_2 t^5 -4ab^2 u_1 t^4 -4ab^2 u_0 t^3 + \sum_{n=6}^{\infty} (- 4)ab^2 t^3 u_{n-3}t^{n} }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty} 3b^4 u_{n-2}t^{n}
= 3b^4 cu_3 t^5 + 3b^4 cu_2 t^4 + 3b^4 cu_1 t^3 + 3b^4 cu_0 t^2 +\sum_{n=6}^{\infty} 3b^4 u_{n-2}t^{n} }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} (- 2)ab^4 u_{n-1}t^{n}
= -2ab^4 u_4 t^5 -2ab^4 u_3 t^4 -2ab^4 u_2 t^3 -2ab^4 u_1 t^2 -2ab^4 u_0 t + \sum_{n=6}^{\infty} (- 2)ab^4 u_{n-1}t^{n} }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} b^6 c u_nt^n
= b^6 c u_5 t^5 + b^6 c u_4 t^4 + b^6 c u_3 t^3 + b^6 c u_2 t^2 + b^6 c u_1 t + b^6 c u_0 + \sum_{n=6}^{\infty} b^6 c u_nt^n }\)

Zebrałem dla porządku współczynniki w tabelkę:

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{ccccccc}
t^n & t^5 & t^4 & t^3 & t^2 & t^1 & t^0 \\
\hline
4(n-4)(n-5)u_{n-4}t^{n} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
4b^2 (n-2)(n-3)u_{n-2}t^{n} & 24b^2 u_3 & 8b^2 u_2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
8b^2 (n-2)u_{n-2}t^{n} & 24b^2 u_3 & 16b^2 u_2 & 8b^2 u_1 & 0 & 0 & 0 \\
c u_{n-6}t^{n} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
-2at^5u_{n-5} t^{n} & -2au_0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
3b^2 u_{n-4}t^{n} & 3b^2 cu_1 & 3b^2 cu_0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
-4ab^2 t^3 u_{n-3}t^{n} & -4ab^2 u_2 & -4ab^2 u_1 & -4ab^2 u_0 & 0 & 0 & 0 \\
3b^4 u_{n-2}t^{n} & 3b^4 cu_3 & 3b^4 cu_2 & 3b^4 cu_1 & 3b^4 cu_0 & 0 & 0 \\
-2ab^4 u_{n-1}t^{n} & -2ab^4 u_4 & -2ab^4 u_3 & -2ab^4 u_2 & -2ab^4 u_1 & -2ab^4 u_0 & 0 \\
b^6 c u_nt^n & b^6 c u_5 & b^6 c u_4 & b^6 c u_3 & b^6 c u_2 & b^6 c u_1 & b^6 c u_0 \\
\end{tabular} }\)

Jeżeli dobrze widzę, to wszystko się zeruje.
Spróbuję jeszcze ten drugi szereg:

\(\displaystyle{ { \psi\left( t\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}t^{n+p} } }\)
Mam tylko pytanie: co oznacza w tym wyrażeniu „p”?

p to jest dowolna liczba rzeczywista tak jak np parametr w równaniach
Dzięki temu p może wyrazy szeregu ci się nie wyzerują

Ogólnie podstawiasz szereg postaci



\(\displaystyle{ \psi\left( t\right) = \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}\left( t-t_{0}\right)^{n+p} }\)

Możesz jeszcze wyzerować współczynnik przy \(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}\psi}{\mbox{d}t} }\)

wstawiając \(\displaystyle{ \psi\left( t\right) = u\left( t\right)F\left( t\right) }\)
gdzie \(\displaystyle{ u\left( t\right) }\) wyznaczasz tak aby współczynnik przy \(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}F}{\mbox{d}t}}\)
był równy zero