Odwrotność pierwiastka
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11425
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Odwrotność pierwiastka
Rozwiązać (tj. wyznaczyć \(\displaystyle{ y=f(x)}\) równanie) \(\displaystyle{ y^{\prime \prime} = \frac{1}{ \sqrt{y} } }\).
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: Odwrotność pierwiastka
Może tak:
\(\displaystyle{ y''= \frac{1}{ \sqrt{y} } \\
y'=u(y) \ \Rightarrow y''=u'u \\
u'u= \frac{1}{ \sqrt{y} } \\
\int_{}^{} udu= \int_{}^{} \frac{dy}{ \sqrt{y} } \\
\frac{1}{2}u^2=2 \sqrt{y}+K\\
u^2=4 \sqrt{y} +4C\\
y'= \pm \ 2 \sqrt{ \sqrt{y}+C } \\
\int_{}^{} \frac{1}{\sqrt{ \sqrt{y}+C }} dy= \pm \int_{}^{} 2 dx
}\)
\(\displaystyle{
\frac{4}{3} (\sqrt{ \sqrt{y}+C} )^3-4C\sqrt{ \sqrt{y}+C }=\pm 2x+S
}\)
\(\displaystyle{
x= \pm \left[ \frac{2}{3} (\sqrt{ \sqrt{y}+C} )^3-2C\sqrt{ \sqrt{y}+C }- \frac{S}{2} \right]
}\)
\(\displaystyle{ y''= \frac{1}{ \sqrt{y} } \\
y'=u(y) \ \Rightarrow y''=u'u \\
u'u= \frac{1}{ \sqrt{y} } \\
\int_{}^{} udu= \int_{}^{} \frac{dy}{ \sqrt{y} } \\
\frac{1}{2}u^2=2 \sqrt{y}+K\\
u^2=4 \sqrt{y} +4C\\
y'= \pm \ 2 \sqrt{ \sqrt{y}+C } \\
\int_{}^{} \frac{1}{\sqrt{ \sqrt{y}+C }} dy= \pm \int_{}^{} 2 dx
}\)
\(\displaystyle{
\frac{4}{3} (\sqrt{ \sqrt{y}+C} )^3-4C\sqrt{ \sqrt{y}+C }=\pm 2x+S
}\)
\(\displaystyle{
x= \pm \left[ \frac{2}{3} (\sqrt{ \sqrt{y}+C} )^3-2C\sqrt{ \sqrt{y}+C }- \frac{S}{2} \right]
}\)