Matematyka.pl

Jaka jest transformata odwrotna takiego wyrażenia:

\(\displaystyle{ \frac{s^4-0,004s^3+0,06s^2-0,4s+1}{s^7-s^6+0,005s^5-0,028s^4+0,027s^3+0,071s^2+0,509s}}\)

Znajdź rozkład tej funkcji na ułamki proste, to Ci powiem.

Czy w oryginalnym zadaniu miałeś mianownik w postaci rozłożonej?

Pozdrawiam.

W oryginalnym zadaniu mianownik był taki jak widać.

Tak jak pisałam, musisz zrobić rozkład na ułamki proste, a wygląda na to, że dokładnie się tego nie da zrobić....

Pozdrawiam.

Rozkład funkcji \(\displaystyle{ G(s)}\) na ułamki proste można wykonać przy użyciu funkcji Residue z Matlaba.
Analizowana funkcja operatorowa.
\(\displaystyle{ G(s) = \frac{L(s)}{M(s)}}\)
Deklaracja współczynników licznika.
\(\displaystyle{ L \ = \ [ 0 \ 0 \ 0 \ 1 \ -0.004 \ 0.06 \ -0.4 \ 1 ]}\)
Deklaracja współczynników mianownika.
\(\displaystyle{ M \ = \ [ 1 \ -1 \ 0.005 \ -0.028 \ 0.027 \ 0.071 \ 0.509 \ 0 ]}\)
Polecenie wykonania obliczeń.
\(\displaystyle{ [r,p,k] = residue(L,M)}\)
gdzie:
r - macierz residuum,
p - macierz biegunów,
k - macierz części całkowitej, (w tym przypadku macierz k jest zerowa)

Wyniki obliczeń.
Residua
\(\displaystyle{ r_{1} = -0.0982-0.3973i}\)
\(\displaystyle{ r_{2} = -0.0982+0.3973i}\)
\(\displaystyle{ r_{3} = -0.4817+0.2109i}\)
\(\displaystyle{ r_{4} = -0.4817-0.2109i}\)
\(\displaystyle{ r_{5} = -0.4024+0.1778i}\)
\(\displaystyle{ r_{6} = -0.4024-0.1778i}\)
\(\displaystyle{ r_{7} = +1.9646}\)
Bieguny
\(\displaystyle{ p_{1} = +1.0354+0.3672i}\)
\(\displaystyle{ p_{2} = +1.0354-0.3672i}\)
\(\displaystyle{ p_{3} = +0.1114+0.8337i}\)
\(\displaystyle{ p_{4} = +0.1114-0.8337i}\)
\(\displaystyle{ p_{5} = -0.6468+0.4216i}\)
\(\displaystyle{ p_{6} = -0.6468-0.4216i}\)
\(\displaystyle{ p_{7} = 0}\)
Funkcja operatorowa \(\displaystyle{ G(s)}\) rozłożona na ułamki proste
\(\displaystyle{ G(s) = \frac{r_{7}}{s} + \sum_{n=1}^{6} \frac{r_{n}}{s-p_{n}}}\)
Transformata odwrotna Laplace'a
\(\displaystyle{ g(t) = r_{7} + \sum_{n=1}^{6} r_{n} \cdot e^{p_{n}t}}\)
Dodatek:
Residua oraz bieguny funkcji \(\displaystyle{ G(s)}\) są zespolone i sprzężone, a zatem jest możliwość przekształcenia funkcji \(\displaystyle{ G(s)}\) do postaci pozwalającej na użycie wzorów tablicowych.
Pozdrawiam.