Matematyka.pl

Mam rozwiązać metodą różnic skończonych takie oto równanie różniczkowe:
\(\displaystyle{ -u''=2}\) na przedziale \(\displaystyle{ (0,2)}\)
przy warunkach początkowych:
\(\displaystyle{ -u'(0)+u(0)=g}\)
\(\displaystyle{ u'(2)=0}\)
\(\displaystyle{ g}\)-pewien skalar

No i nie wiem jak to zrobić. Korzystam z tego, że: \(\displaystyle{ u''= \frac{u_{i-1}-2u_i+u_{i+1}}{h^2} }\) i biorę kilka węzłów i dostaję taki układ:
\(\displaystyle{ u_0-2u_1+u_2=-2h^2}\)
\(\displaystyle{ u_1-2u_2+u_3=-2h^2}\)
\(\displaystyle{ u_2-2u_3+u_4=-2h^2}\)
\(\displaystyle{ u_3-2u_4+u_5=-2h^2}\)

No i teraz potrzebuję jeszcze dwóch równań z warunkowych początkowych. Ale nie wiem jak ugryźć warunek \(\displaystyle{ -u_0'+u_0=g}\). Bo jak to rozpiszę to dostaję: \(\displaystyle{ - \frac{1}{2h}(u_1-u_{-1})+u_0=g }\) i skąd ja mam wziąć \(\displaystyle{ u_{-1}}\)? Będę wdzięczny za pomoc.

Rozwiązanie analityczne (dokładne):

\(\displaystyle{ u(t) = - t^2 + 4 t + g + 4 }\)

gdzie:

\(\displaystyle{ g - }\) wartość przyśpieszenia ziemskiego.

Dla trójdiagonalnego układu równań z dyskretyzacją: \(\displaystyle{ h = 0,5 }\)

i węzłami: \(\displaystyle{ t_{0}= 0, \ \ t_{1} = 0,5, \ \ t_{2}= 1,0, \ \ t_{3} = 1,5, \ \ t_{4}= 2,0: }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} u_{-1}-2u_{0}+u_{1}= -0,5 \\ u_{0}-2u_{1}+u_{2}=-0,5 \\ u_{1}-2u_{2}+u_{3}=-0,5 \\ u_{2}-2u_{3}+u_{4}=-0,5 \\ u_{3}-2u_{4}+u_{5}=-0,5,\end{cases} }\)

dodatkowe dwa równania uzyskujemy z warunków początkowych:

\(\displaystyle{ \begin{cases} u_{-1}- 2 u_{0}\cdot h + u_{1} =- 2g\cdot h \\ - u_{3} + u_{5} = 0. \end{cases}}\)

Czy może ktoś się do tego odnieść i zweryfikować?