Matematyka.pl

Rozwiązać równanie różniczkowe
\(\displaystyle{ (x-y) \dd x + (x+y) \dd y=0 }\)
przez zastosowanie czynnika całkującego \(\displaystyle{ \mu (x^2+y^2) = \mu.}\)

Gdyby nie było narzuconej metody to rozwiązywałbym jako jednorodne ale skoro musisz czynnikiem całkującym danej postaci to

\(\displaystyle{ \mu=\mu\left[\omega\left(x,y\right)\right]\\
P=P\left(x,y\right)\\
Q=Q\left(x,y\right)\\
\frac{\partial \mu P}{\partial y}=\frac{\partial \mu Q}{\partial x}\\
\frac{\partial \mu}{\partial y}P+\mu\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial \mu}{\partial x}Q+\mu\frac{\partial Q}{\partial x}\\
\frac{\partial \mu}{\partial y}P-\frac{\partial \mu}{\partial x}Q=\mu\frac{\partial Q}{\partial x}-\mu\frac{\partial P}{\partial y}\\
\frac{\partial \mu}{\partial y}P-\frac{\partial \mu}{\partial x}Q=\mu\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\\
\frac{\mbox{d}\mu}{\mbox{d}\omega}\cdot\frac{\partial \omega}{\partial y}P-\frac{\mbox{d}\mu}{\mbox{d}\omega}\cdot\frac{\partial \omega}{\partial x}Q=\mu\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\\
\frac{\mbox{d}\mu}{\mbox{d}\omega}\left(\frac{\partial \omega}{\partial y}P-\frac{\partial \omega}{\partial x}Q\right)=\mu\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\\
\frac{\mbox{d}\mu}{\mu}=\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}{\frac{\partial \omega}{\partial y}P-\frac{\partial \omega}{\partial x}Q}\mbox{d}\omega\\
\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}{\frac{\partial \omega}{\partial y}P-\frac{\partial \omega}{\partial x}Q}=\varphi\left(\omega\right)\\
\frac{\mbox{d}\mu}{\mu}=\varphi\left(\omega\right)\mbox{d}\omega}\)


U ciebie

\(\displaystyle{ Q\left( x,y\right)=x+y\\P\left( x,y\right)=x-y\\ \omega = x^2+y^2
}\)

zatem czynnik całkujący wygląda następująco
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}\mu}{\mu} = \frac{1-\left( -1\right) }{2y\left( x-y\right)-2x\left( x+y\right) }\\
\frac{\mbox{d}\mu}{\mu} = \frac{2}{2xy-2y^2-2x^2-2x^2}\mbox{d}\left( x^2+y^2\right) \\
\frac{\mbox{d}\mu}{\mu} = \frac{2}{-2y^2-2x^2}\mbox{d}\left( x^2+y^2\right) \\
\frac{\mbox{d}\mu}{\mu}=-\frac{1}{x^2+y^2}\mbox{d}\left( x^2+y^2\right) \\
\ln{\left| \mu\right| } = -\ln{\left| x^2+y^2\right| }\\
\mu\left( x^2+y^2\right) = \frac{1}{x^2+y^2}
}\)



Równanie jednorodne zwykle rozwiązuje się sprowadzając podstawieniem do równania o rozdzielonych zmiennych
ale dość łatwo dla niego podać czynnik całkujący a jest to

\(\displaystyle{ \mu\left( x,y\right) = \frac{1}{xP\left( x,y\right)+yQ\left( x,y\right) }
}\)

Dziękuję @mariuszm.

Tak, inną metodą nie byłoby problemu (np podstawienie \(\displaystyle{ y=x\cdot v(x)}\) ) ale ta była wymuszona.

Tu (link) krótkie wyjaśnienie metody.