Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \frac{dN_{1}}{dt}=-\lambda_{1}N_{1}}\)

\(\displaystyle{ \frac{dN_{2}}{dt}=\lambda_{1}N_{1}-\lambda_{2}N_{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{dN_{3}}{dt}=\lambda_{2}N_{2}}\)

warunki początkowe: dla \(\displaystyle{ t=0}\) \(\displaystyle{ N_{1}=N_{0}}\) oraz \(\displaystyle{ N_{2}=N_{3}=0}\)

otrzymane całki:

\(\displaystyle{ N_{1}=N_{0}e^{-\lambda_{1}t}}\)

\(\displaystyle{ N_{2}=N_{0} \frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}(e^{-\lambda_{1}t}-e^{-\lambda_{2}t})}\)


Pierwsze równanie aby otrzymać \(\displaystyle{ N_{1}=N_{0}e^{-\lambda_{1}t}}\) potrafię policzyć. Nie wiem w jaki sposób wyprowadzono \(\displaystyle{ N_{2}}\).

\(\displaystyle{ \frac{dN_{2}}{dt}=\lambda_{1}N_{1}-\lambda_{2}N_{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{dN_{2}}{dt}=\lambda_{1}N_{0}e^{-\lambda_{1}t}-\lambda_{2}N_{2}}\)

następnie obie strony pomnożono przez \(\displaystyle{ e^{\lambda_{2}t}dt}\)

\(\displaystyle{ e^{\lambda_{2}t}dN_{2}+\lambda_{2}N_{2}e^{\lambda_{2}t}dt=\lambda_{1}N_{0}e^{(\lambda_{2}-\lambda_{1})t}dt}\)

Nie wiem co dalej. Mógłby ktoś pomóc?

Skoro wyliczyłeś \(\displaystyle{ N_1}\), to podstaw do drugiego równania i wyznacz \(\displaystyle{ N_2}\). Dalej mając \(\displaystyle{ N_2}\) wstawiamy wynik do trzeciego równania i liczymy \(\displaystyle{ N_3}\).

luka52 pisze:Skoro wyliczyłeś \(\displaystyle{ N_1}\), to podstaw do drugiego równania

to właśnie zrobiłem i zatrzymałem się na \(\displaystyle{ e^{\lambda_{2}t}dN_{2}+\lambda_{2}N_{2}e^{\lambda_{2}t}dt=\lambda_{1}N_{0}e^{(\lambda_{2}-\lambda_{1})t}dt}\)

Tylko nie bardzo wiem po co mnożysz obustronnie przez \(\displaystyle{ e^{\lambda_{2}t}dt}\). Rozwiąż normalnie - najpierw równanie jednorodne, potem niejednorodne.

mnożę gdyż w książce jest napisane że wyrażenie \(\displaystyle{ e^{\lambda_{2}t}dN_{2}+\lambda_{2}N_{2}e^{\lambda_{2}t}dt=\lambda_{1}N_{0}e^{(\lambda_{2}-\lambda_{1})t}dt}\) jest jednoznaczne z \(\displaystyle{ d(N_{2}e^{\lambda_{2}t})=d\left [ \frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}N_{0}e^{(\lambda_{2}-\lambda_{1}t)} \right ]}\) i liczyłem tak jak w książce, tylko tego przejścia nie rozumiem Wiesz o co chodzi?

Dodam tylko, że książka jest do fizyki a nie do matmy i nie wiem czy to jest oczywiste czy pominięto kilka kroków.

W wykładniku po prawej nawias jest źle zamknięty, ale mniejsza o to.
Cóż, widać autorzy książki od razu podali rozwiązanie. Jeżeli rozpiszesz obie różniczki, to rzeczywiście otrzymamy początkowe wyrażenie.
\(\displaystyle{ d\left [ \frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}N_{0}e^{(\lambda_{2}-\lambda_{1}t)} \right ]}\) to po prostu \(\displaystyle{ \frac{d}{dt} \left [ \frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}N_{0}e^{(\lambda_{2}-\lambda_{1}t)} \right ] \; \mbox d t}\), a \(\displaystyle{ d(N_{2}e^{\lambda_{2}t})}\), to \(\displaystyle{ \frac{d}{ d N_2}( N_{2}e^{\lambda_{2}t}) \mbox d N_2 + \frac{d}{d t}( N_{2}e^{\lambda_{2}t}) \mbox d t}\).

Dalej nie bardzo łapię to przekształcenie więc zacząłem liczyć standardowo równanie liniowe niejednorodne ale otrzymuję zły wynik

\(\displaystyle{ \frac{dN_{2}}{dt}=\lambda_{1}N_{0}e^{-\lambda_{1}t}-\lambda_{2}N_{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{dN_{2}}{dt}+\lambda_{2}N_{2}=\lambda_{1}N_{0}e^{-\lambda_{1}t}}\) RLN

\(\displaystyle{ \frac{dN_{2}}{dt}+\lambda_{2}N_{2}=0}\) RLJ

\(\displaystyle{ \frac{dN_{2}}{N_{2}}=-\lambda_{2}dt}\)

\(\displaystyle{ N_{2}=Ce^{-\lambda_{2}t}}\) CORLJ

\(\displaystyle{ N_{2}=\phi(t)e^{-\lambda_{2}t}}\)

\(\displaystyle{ N'_{2}=\phi'(t)e^{-\lambda_{2}t}-\phi(t)\lambda_{2}e^{-\lambda_{2}t}}\)

wstawiając do równania RLN

\(\displaystyle{ \phi'(t)e^{-\lambda_{2}t}-\phi(t)\lambda_{2}e^{-\lambda_{2}t} + \lambda_{2}\phi(t)e^{-\lambda_{2}t}=\lambda_{1}N_{0}e^{-\lambda_{1}t}}\)

\(\displaystyle{ \phi'(t)e^{-\lambda_{2}t}=\lambda_{1}N_{0}e^{-\lambda_{1}t}}\)

\(\displaystyle{ \phi'(t)=\lambda_{1}N_{0}e^{(\lambda_{2}-\lambda_{1})t}}\)

\(\displaystyle{ \phi(t)=N_{0}\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}e^{(\lambda_{2}-\lambda_{1})t}}\)

wstawiam \(\displaystyle{ \phi(t)}\) za stałą C w CORLJ żeby otrzymać CSzRLN

\(\displaystyle{ N_{2}=N_{0}\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}e^{(\lambda_{2}-\lambda_{1})t}e^{-\lambda_{2}t}}\) CSzRLN

a to niestety nie jest równe

\(\displaystyle{ N_{2}=N_{0} \frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}(e^{-\lambda_{1}t}-e^{-\lambda_{2}t})}\)

widzi ktoś błąd?

A czy musi być błąd? Przecież z drugiej strony jest:
Wyznaczając tu stałą \(\displaystyle{ C}\) zdaje się, że otrzymamy ten sam wynik co Ty w poprzednim poście.

aaa już wiem.. dzięki wielkie za pomoc:)