Matematyka.pl

Zadanie polega na wyprowadzeniu wzoru na energię relatywistyczną gdy \(\displaystyle{ v\ll c}\).
Jest to zadanie z poziomu studiów. Nie mam pomysłu jak to ugryźć.

Nie bardzo rozumiem treść, ale warunek \(\displaystyle{ v\ll c}\) sugeruje, że masz rozwinąć pełny relatywistyczny wzór dla swobodnej cząstki masywnej:
\(\displaystyle{ E=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}\)
w szereg wokół zera względem \(\displaystyle{ \frac{v}{c}}\) otrzymując nierelatywistyczne przybliżenie. Dwa pierwsze wyrazy powinny wyglądać znajomo.

Witam,
Ja też niestety nie rozumiem tego pytania dlatego zadałem pytanie na tym forum. Wiem tylko, że
mam wyprowadzić wzór na energię relatywistyczną dla prędkości \(\displaystyle{ v\ll c}\) więc \(\displaystyle{ \beta\ll1}\) teoretycznie wzór \(\displaystyle{ E=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}\) przekształca się w \(\displaystyle{ E=mc ^{2}(1 + \frac{ \beta^{2} }{2}+...)}\).
Ale czy to wystarczy dla wykładowcy? przecież gdy \(\displaystyle{ \beta\ll1 (=0)}\) to i tak \(\displaystyle{ E=mc ^{2}}\) bo \(\displaystyle{ E _{k} = 0}\).
Dla małych prędkości to właśnie ta \(\displaystyle{ \frac{mc ^{2} \beta^{2}}{2} = E _{k}}\) bo \(\displaystyle{ c^{2}}\) się skróci i mamy \(\displaystyle{ E _{k}= \frac{mv ^{2} }{2}}\)

superhiro2 pisze: Ale czy to wystarczy dla wykładowcy?

Powinno. A jak nie, to niech nauczy się lepiej formułować zadania.

przecież gdy \(\displaystyle{ \beta\ll1 (=0)}\) to i tak \(\displaystyle{ E=mc ^{2}}\) bo \(\displaystyle{ E _{k} = 0}\).

\(\displaystyle{ \beta\ll 1}\) nie oznacza \(\displaystyle{ \beta=0}\)

Dla małych prędkości to właśnie ta \(\displaystyle{ \frac{mc ^{2} \beta^{2}}{2} = E _{k}}\) bo \(\displaystyle{ c^{2}}\) się skróci i mamy \(\displaystyle{ E _{k}= \frac{mv ^{2} }{2}}\)

Dokładnie Mamy zatem dla małych prędkości \(\displaystyle{ E\approx mc^2+\frac{mv^2}{2}}\).
Rozwinięcie w szereg jest ważnym krokiem "ideowym" że tak to nazwę. Pozwala stwierdzić dwie rzeczy:
- że w przypadku relatywistycznym musimy brać pod uwagę energię spoczynkową, bo jest ona istotnym członem w rozwinięciu, jest w energię naturalnie 'wbudowana'; co więcej, wcale nie musi być ona zaniedbywalnie mała,
- uwzględniając powyższą uwagę, widać, że dla \(\displaystyle{ v\ll c}\) gdzieś tam odtwarza się nam znany nierelatywistyczny wzór na energię kinetyczną.
Ogólnie to taki był zawsze cel tego zadania.