Matematyka.pl

Witam, spotkałem się z następującym zadaniem:

Prędkość w trzech wymiarach definiujemy poprzez trzy składowe: \(\displaystyle{ v_{x} = \frac{\Delta x}{\Delta t}, v_{y} = \frac{\Delta y}{\Delta t}, v_{z} = \frac{\Delta z}{\Delta t}}\). Analogicznie w czterech wymiarach prędkość definiujemy poprzez cztery składowe: \(\displaystyle{ v_{1} = \frac{\Delta x_{1} }{\Delta t}, v_{2} = \frac{\Delta x_{2} }{\Delta t}, v_{3} = \frac{\Delta x_{3} }{\Delta t}, v_{4} = \frac{\Delta x_{4} }{\Delta t}}\), gdzie \(\displaystyle{ \Delta t_{0} = \Delta t \sqrt{1 - \frac{ v^{2} }{ c^{2} } }}\). Wyraź składowe \(\displaystyle{ v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}}\) za pomocą składowych \(\displaystyle{ v_{x}, v_{y}, v_{z}.}\)

Od czego powinienem tutaj zacząć? Niestety nie mam odpowiedzi i dopiero zaczynam ze szczególną teorią względności. Czy dla np. \(\displaystyle{ v_{1}}\) będzie(?):
\(\displaystyle{ v_{1}=\frac{\Delta x}{\Delta t} \cdot \frac{1}{ \sqrt{1- \frac{ v^{2} }{ c^{2} } } }}\)

Jeśli idzie o czteroprędkość to tak. Pytanie którym współrzędnym odpowiadają te liczby, bo notacja ta nie jest standardowa. W standardowej notacji, gdzie pierwsza współrzędna (oznaczana zerem) to ta czasowa, ma wyjść \(\displaystyle{ v^\mu=\gamma(c,\vec{v})}\), gdzie \(\displaystyle{ \gamma}\), to 'jeden' przez wiadomy pierwiastek.

Dziękuję za odpowiedź. Obecnie uczę się z książki przeznaczonej dla uczniów liceum. Co oznacza \(\displaystyle{ \mu}\) przy \(\displaystyle{ v^{\mu}}\) ?
Nie wiem, czy dobrze rozumiem, że \(\displaystyle{ v^\mu=\gamma(c,\vec{v})}\) oznacza tyle co: \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{1- \frac{ v^{2} }{ c^{2} } } }}\) przyjmujące jako wartości \(\displaystyle{ c}\) i \(\displaystyle{ \vec v}\)? Chyba nie...
Następne zadanie brzmi:

Korzystając z odpowiedzi do zadania poprzedniego oraz z definicji czterech składowych pędu czterowymiarowego: \(\displaystyle{ p_{1} = mv_{1}}\), \(\displaystyle{ p_{2} = mv_{2}}\), \(\displaystyle{ p_{3} = mv_{3}}\), \(\displaystyle{ p_{4} = mv_{4}}\), wykaż, że składowe czteropędu są dane za pomocą wzorów:
\(\displaystyle{ p_{1}=mv_{1}= \frac{mv_{x} }{ \sqrt{1- \frac{ v^{2} }{ c^{2} } } }}\)
\(\displaystyle{ p_{2}=mv_{2}= \frac{mv_{y} }{ \sqrt{1- \frac{ v^{2} }{ c^{2} } } }}\)
\(\displaystyle{ p_{3}=mv_{3}= \frac{mv_{z} }{ \sqrt{1- \frac{ v^{2} }{ c^{2} } } }}\)
\(\displaystyle{ p_{4}=mv_{4}= \frac{mc }{ \sqrt{1- \frac{ v^{2} }{ c^{2} } } }}\)

Stąd wnioskuję, że jest to notacja, gdzie czwarta współrzędna \(\displaystyle{ x_{4}}\) jest związana z czasem.
Szczerze mówiąć, to \(\displaystyle{ v_{1}=\frac{\Delta x}{\Delta t} \cdot \frac{1}{ \sqrt{1- \frac{ v^{2} }{ c^{2} } } }}\) uzyskałem przekształcając od strony wzoru na składową pędu, którego to słuszność powinienem wykazać. A z jakiego założenia teorii względności powinienem wyjść aby to faktycznie wykazać? Czytałem już podręcznik kilka razy, myślałem i dalej tego nie widzę.

Wystarczy zamienić \(\displaystyle{ \Delta t}\) z fizyki klasycznej, na to z fizyki relatywistycznej, tak jak to zrobiłeś dla \(\displaystyle{ v_1}\). Mój zapis to notacja wektorowa, której się uczyć będziesz na matematyce. Po prostu są to współrzędne wektora, mniejsza z tym, bo tego stosować nie musisz teraz. Zatem pierwsze trzy współrzędne będą wyglądać podobnie do tego co zapisałeś, natomiast \(\displaystyle{ v_4=\Delta x_4/\Delta t_0=c\Delta t/\Delta t_0=\gamma c}\).

Rozumiem. Dzięki Ci wielkie za pomoc okazaną.