Matematyka.pl

Cześć.
Mógł by ktoś mi wymienić różnice.
Wiem że klasyczna obejmuje ciała poruszające się poniżej prędkości światła a relatywistyczna zajmuje się ciałami poruszającymi się powyżej tej prędkości.

powyżej ? No nie przesadzajmy, nie twórz tutaj nowej fizyki.

Klasycznej fizyki używamy kiedy prędkość jest dużo mniejsza od prędkości światła. Kiedy jest już jakimś znaczącym ułamkiem tej prędkości wtedy używamy relatywistycznej

w sumie racja. Nic nie przekracza ej prędkości.
A jakie są jeszcze różnice ?

nie rozumiem do końca pytania. Faktem jest, że im bliżej prędkości światła tym dziwniejsze rzeczy można zaobserwować, np zjawisko dylatacji czasu, czy też zmiany wymiarów niektórych rzeczy. Ale jeżeli chcesz się o tym więcej dowiedzieć to znajdź sobie lepszego partnera do dyskusji, to nie moja dziedzina

Co dokładnie chcesz wiedzieć i na jakim poziomie ?
Czy chodzi Ci o materiał typowo szkolny czy coś ciekawszego ?
Bo możemy np. porozmawiać sobie o strukturze matematycznej czasoprzestrzeni. Możemy porównywać grupę przekształceń Galileusza z grupą Poincare'go włączając w to niezmienniczość względem tych grup i związane z tym generatory przekształceń kanonicznych tworzące pewną grupę Lie'go. Ewentualnie omówić matematyczne podstawy modelu Minkowskiego z naciskiem na strukturę rozmaitości różniczkowych. Można też porównać euklidesową geometrię z geometrią hiperboliczną.
A jeśli chcesz tematykę bardziej "szkolną" to i tutaj można znaleźć wiele ciekawych rzeczy do omówienia. Oprócz tych o których się w szkołach wspomina (tak, tylko wspomina niestety ) można jeszcze dołożyć obrót Thomasa-Wignera i wiele tzw. "paradoksów" jak np. paradoks bliźniąt, paradoks dwóch kwadratów itp.
Jeśli chodzi o klasyczne różnice między mechaniką klasyczną a relatywistyką to na pewno będzie to kwestia składania prędkości, prawa zachowania ( pęd i energia \(\displaystyle{ \rightarrow}\) czteropęd itp. ), kwestie jednoczesności zdarzeń.
Tematyka jest naprawdę rozległa, dlatego musisz jakoś sprecyzować czego się chcesz dowiedzieć ( na jakim poziomie ).
Pozdrawiam.

ares41 pisze:Można też porównać euklidesową geometrię z geometrią hiperboliczną.

chętnie posłucham

Mam poprawkowy egzamin z mechaniki i często się pojawia pytanie, mechanika klasyczna a mechanika relatywistyczna.Egzamin z mechaniki ogólnej. Chodzi mi bardziej o wiedzę szkolną i o gościa który nazywał się lorentz. do tego mam taki wzorek
\(\displaystyle{ x'= \frac{x-vt}{ \sqrt{1- \frac{v ^{2}}{c ^{2}}}}}\) mógł bi mi ktoś łopatologicznie powiedzieć o co chodzi w nim ?
A i mam pytanie jeszcze takie:
co to jest pochodna wektora zależnego od czasu ? a odpowiedź mam taką. Pochodną wektora \(\displaystyle{ a[a _{x}(t) ; a_{y}(t) ; a _{z}(t)]}\) Nazywamy wektor wektor o współrzędnych: \(\displaystyle{ \frac{da}{dt}= \frac{da}{dt}[ \frac{da _{x}}{dt} ; \frac{da _{y}}{dt} ; \frac{da _{z}}{dt}]}\)

i mam problem z tym \(\displaystyle{ \frac{da}{dt}}\) bo chodzi o to że biorę za da jakąś funkcje z a i liczę pochodną z niej po czasie tak ? I czy ktoś mógł by mi wyjaśnić

Pochodna wektora zależnego od czasu to po prostu jego zmiana/przyrost (czyli to co się stanie w tym czasie)

dla wektora wodzącego, jego zmiana (w któkim odstępie czasu) jest równa drodze
dla wektora prędkości, jego zmiana (znowu w którtkim odstepie czasu) jest równa przyspieszeniu

wektor wodzący to jaki wektor ?

ten który opisuje położenie ciała w przestrzeni

Igorro pisze:Chodzi mi bardziej o wiedzę szkolną i o gościa który nazywał się lorentz. do tego mam taki wzorek
\(\displaystyle{ x'= \frac{x-vt}{ \sqrt{1- \frac{v ^{2}}{c ^{2}}}}}\) mógł bi mi ktoś łopatologicznie powiedzieć o co chodzi w nim ?

Rozważamy sytuację, gdy układ \(\displaystyle{ U'}\) porusza się ruchem postępowym względem układu \(\displaystyle{ U}\) z prędkością \(\displaystyle{ v}\) względem jednej z osi, np \(\displaystyle{ Ox}\). Zakładamy ponadto, że w chwili początkowej początki układów się pokrywały. I teraz tzw. specjalne przekształcenie Lorentza mówi nam jakie są współrzędne \(\displaystyle{ (t',x',y',z')}\) jakiegoś ciała w układzie \(\displaystyle{ U'}\) jeżeli w układzie \(\displaystyle{ U}\) ma on współrzędne \(\displaystyle{ (t,x,y,z)}\).
Okazuje się ( sposobów wyprowadzenia tego jest kilka ), że te zależności są wyrażone przez :
\(\displaystyle{ \begin{cases} t'= \frac{t- \frac{v}{c^2} x}{ \sqrt{1- \frac{v ^{2}}{c ^{2}}}}\\ x'= \frac{x-vt}{ \sqrt{1- \frac{v ^{2}}{c ^{2}}}} \\ y'=y\\ z'=z \end{cases}}\)
Korzystając z tych zależności można np. wyprowadzić wzór na skrócenie Lorentza, wydłużenie interwału czasowego ( dylatacja czasu) itd.
Wynika też stąd relatywistyczne prawo składania prędkości.

Ser Cubus pisze:

ares41 pisze:Można też porównać euklidesową geometrię z geometrią hiperboliczną.

chętnie posłucham

Ograniczę się do zastosowań tej geometrii w teorii względności i różnic jakie tam występują. Wiemy, że w geometrii Euklidesa miejscem geometrycznym punktów równo oddalonych od jakiegoś ustalonego punktu jest sfera. Pytamy jak to wygląda w czasoprzestrzeni Minkowskiego ( dla ustalenia uwagi załóżmy, że mamy sygnaturę \(\displaystyle{ (+,-,-,-)}\) ). Jeżeli ta odległość \(\displaystyle{ a>0}\) to nasza "sfera" wygląda jak na rysunku poniżej i składa się z dwóch czasz hiperbolicznych \(\displaystyle{ \mathcal{H}^{+}, \mathcal{H}^{-}}\), które leżą odpowiednio wewnątrz stożka przyszłości i przeszłości. Jeżeli \(\displaystyle{ a}\) jest urojone to otrzymujemy jednopłatową hiperboloidę otaczającą nasz stożek ( pominąłem ten przypadek na rysunku ). Weźmy pod uwagę górną część. Jeżeli teraz taką "sferę" przetniemy 2-płaszczyzną przechodzącą przez \(\displaystyle{ O}\) to otrzymamy "hiperboliczną linię prostą".
Możemy także spróbować znaleźć pewne odwzorowanie \(\displaystyle{ \mathcal{H}^{+}}\) na pewne płaszczyzny. Zróbmy to tak jak na poniższym rysunku: Wszystkie punkty \(\displaystyle{ \mathcal{H}^{+}}\) lądują w pewnym kole. Jeżeli wykonamy odwzorowanie na pierwszą od góry płaszczyznę to dostajemy tzw. odwzorowanie rzutowe Kleina, a jeżeli na drugą to mamy tzw. odwzorowanie konforemne Poincare'go.
Przykładowe rysunki ( z Wikipedii ):


Są to dwa modele geometrii hiperbolicznej. Widzimy więc, że mają one bezpośrednie zastosowanie w szczególnej teorii względności.
Łatwo zauważyć, że czasopodobne kierunki przyszłości są reprezentowane przez punkty na \(\displaystyle{ \mathcal{H}^{+}}\), zatem \(\displaystyle{ \mathcal{H}^{+}}\) możemy uważać za przestrzeń prędkości. I stąd możemy wyprowadzić relatywistyczne prawo składania prędkości - jako wynik dodawania długości w geometrii hiperbolicznej. Tą długością jest tzw. raptowność \(\displaystyle{ \rho}\). Jest ona równa \(\displaystyle{ \rho=\arctgh v= \frac{1}{2} \ln \frac{1+v}{1-v}}\)
A jak dodajemy ? Jeżeli prędkości mają ten sam kierunek to po prostu dodajemy ich raptowności. Jeżeli nie to stosujemy prawo trójkąta. Składanie tej prędkości wykonujemy jak składanie zwykłych obrotów. Jeżeli mamy dane dwie prędkości to przedstawiamy je za pomocą odcinków hiperbolicznych o długości równej połowie raptowności i dostajemy wynik jak na rys. poniżej: Co więcej, jeśli \(\displaystyle{ v\ll c}\) to prawo składania raptowności przechodzi w klasyczną regułę trójkąta znaną z geometrii euklidesowej. Oznacza to, że geometria euklidesowa jest graniczną geometrią hiperboliczną a także, że dla małych prędkości mechanika relatywistyczna przechodzi w mechanikę klasyczną. Tak więc można powiedzieć, że geometria hiperboliczna i euklidesowa mają więcej podobieństw niż różnic, a różnią się tak naprawdę tylko piątym postulatem Euklidesa.

Jakie znacie aksjomaty Mechaniki klasycznej ?

ares41, czy istnieje jakieś przekształcenie z układu kartezjańskiego na hiperboliczny?

Igorro pisze:Jakie znacie aksjomaty Mechaniki klasycznej ?

Założeniem mechaniki klasycznej jest spełnienie praw Newtona oraz zasada niezależności sił.

Ser Cubus pisze:ares41, czy istnieje jakieś przekształcenie z układu kartezjańskiego na hiperboliczny?

Nie chodzi tutaj o układ współrzędnych tylko o wprowadzenie pewnej geometrii. Nie należy sobie wyobrażać tego jako pewnego tworu w przestrzeni euklidesowej. Jest to zupełnie osobna geometria. Poprzez wprowadzenie odległości tak aby jej cosinus hiperboliczny był równy dwuliniowej formie Lorentza uzyskujemy pewną przestrzeń metryczną. Te modele Kleina i Poincare'go, o których wspominałem, to tylko sposób wyobrażenia sobie tego jak wygląda ta geometria, ale one jej nie przedstawiają jako takiej. Jest to tylko próba zobrazowania tego na papierze.