Matematyka.pl

W innym temacie ktoś twierdzi, że masa relatywistyczna, rozumiana dosłownie - jako wzrost masy z prędkością (zgodnie z Lorentzem) nie mają sensu, z uwagi na te dwie różne wersje 'masy', które wówczas się pojawiają automatycznie, czyli tym samym masa jest niejednoznaczna co rzekomo prowadzi do sprzeczności.

Jest to drastyczne błędna opinia, albowiem wystarczy sobie to wyliczyć:

\(\displaystyle{ m = \gamma m_0}\)

przy takim fakcie jest jest oczywiste, że podczas zmian prędkości ciała (przyspieszania) należy uwzględnić dwa warianty:
składowa radialna prędkości ulega zmianie (podłużna) oraz składowa poprzeczna.

I nie ma w z tym żadnej sprzeczności, że przy tak zadanej zależności masy od prędkości,
faktycznie trudniej będzie zwiększyć prędkość ciała wzdłuż, aniżeli skręcać nim tylko - krążyć dookoła.

Jest to zresztą od dawna praktycznie stwierdzone i pomierzone precyzyjnie w przeróżnych akceleratorach, cyklotronach, betatronach itd.

1. Przyspieszanie wzdłuż, jest tu po prostu rozpędzaniem ciała, znaczy zwiększaniem wartości prędkości (szybkości), co wymaga coraz większej siły, bowiem wtedy masa wzrasta zgodnie z tym wzorem.
2. Natomiast samo skręcanie polega tylko na zmianie kierunku prędkości, przy jednoczesnym zachowaniu jej wartości;
tym samym jest oczywiste że to łatwiej zrobić - masa jest wtedy stała, nie wzrasta, bowiem w tym przypadku: |v| = const.

-- 20 sierpnia 2017, 19:28 --

I nie muszę się nawet wysilać aby udowodnić poprawności teorii Lorentza, bowiem to zostało dawno temu zrobione:

Fibik pisze:W innym temacie ktoś twierdzi, że masa relatywistyczna, rozumiana dosłownie - jako wzrost masy z prędkością (zgodnie z Lorentzem)

To co obecnie jest nazywane "masą relatywistyczną" nie pochodzi od Lorentza, a nawet nie od Einsteina jak błędnie myślałem, lecz od panów Gilberta Lewisa i Richarda Tolmana z publikacji z 1909 roku. Lorentz też rozważał zmieniającą się masę i definiował ją jako stosunek siły do przyspieszenia co zmusiło go do wprowadzenia dwóch mas: poprzecznej i podłużnej. Źródła w postaci prac Lorentza: i . Jak już tak się na niego powołujesz, to dobrze by było znać takie "drobne" szczegóły.

Aby dobrze nakreślić to, że masa relatywistyczna jest zbędna wypadałoby pokazać skąd biorą się matematyczne postaci relatywistycznych wielkości fizycznych. Opierać się będę na własnych notatkach sporządzonych na wykładach 'mechaniki klasycznej' prowadzonych na UW przez śp. doc. Zygmunta Ajduka. Informacje te można znaleźć także w książce Mechanika klasyczna, tom 2 Johna Taylora, rozdział 15.

Być może zbędny wstęp o podstawach podstaw:
Chcielibyśmy wprowadzić (przynajmniej spróbować) relatywistyczne definicje wielkości fizycznych naśladując nieco mechanikę nierelatywistyczną. Prędkość w teorii Newtona definiowało się jako pochodną położenia po czasie. W teorii względności nie ma czasu absolutnego jak w teorii Newtona, w efekcie czego otrzymujemy obiekt, który nie ma 'ładnych' własności transformacyjnych. Istnieje jednak czas, który nie zależy od układu odniesienia - czas własny, definiowany jako całka:
\(\displaystyle{ \tau=\int\frac{1}{\gamma(t)}\textsf{d}t}\), lub używając jednoform \(\displaystyle{ \textsf{d}\tau=\frac{\textsf{d}t}{\gamma(t)}}\).
Jest to czas jaki wskazuje zegar poruszający się po danej linii świata i jest on miarą długości linii świata. \(\displaystyle{ t}\) jest czasem współrzędnościowym, czyli wskazywanym przez zegary stowarzyszone z danym reperem. Zależy on od układu odniesienia. Przez analogię z nierelatywistycznymi definicjami wprowadzamy dwie wielkości kinematyczne:
- czteroprędkość jako pochodną czteropołożenia po czasie własnym:
\(\displaystyle{ u^\mu=\frac{\textsf{d}x^\mu}{\textsf{d}\tau}=(\gamma c,\gamma\vec{v})}\).
- czteroprzyspieszenie jako pochodną czteroprędkości po czasie własnym:
\(\displaystyle{ b^\mu=\frac{\textsf{d}u^\mu}{\textsf{d}\tau}=\left(\frac{\gamma^4}{c}\vec{a}\vec{v},\gamma^2\vec{a}+\frac{\gamma^4(\vec{v}\vec{a})}{c^2}\vec{v}\right)}\).
Warto zwrócić uwagę, że o ile w przypadku czterowektora położenia część 'przestrzenną' można było utożsamić ze zwykłym położeniem, tak w przypadku czteroprędkości i czteroprzyspieszenia części przestrzenne się już nieco rozjeżdzają Niemniej jednak historia pokazuje, że nie należy się tym przejmować.
Przejdźmy do dynamiki i ograniczmy rozważania do ciał o niezerowej masie - nierelatywistycznie jest to założenie oczywiste, lecz jak wiadomo w teorii względności możemy mieć też ciała o masie zerowej.
Definiujemy czteropęd przez analogię z mechaniką nierelatywistyczną \(\displaystyle{ p^\mu=mu^\mu=(\gamma mc,\gamma m\vec{v})}\). Okazuje się, że tym razem traktowanie części przestrzennej czteropędu jak zwykły trójpęd popłaca i można tę wielkość oznaczyć jak w mechanice nierelatywistycznej \(\displaystyle{ \vec{p}=\gamma m\vec{v}}\). Czasowa składowa czteropędu okazuje się być energią całkowitą podzieloną przez \(\displaystyle{ c}\): \(\displaystyle{ E=\gamma m c^2=E_k+mc^2}\)
Wprowadzając relatywistyczny odpowiednik siły - czterosiłę - możemy zapisać drugą zasadę dynamiki:
\(\displaystyle{ K^\mu=mb^\mu}\)
lub inaczej
\(\displaystyle{ K^\mu=\frac{\textsf{d}p^\mu}{\textsf{d}\tau}}\).
Dla składowych przestrzennych:
\(\displaystyle{ \vec{K}=\frac{\textsf{d}\vec{p}}{\textsf{d}\tau}=\gamma\frac{\textsf{d}\vec{p}}{\textsf{d}t}}\) i definiujemy wektor siły \(\displaystyle{ \vec{F}=\frac{\vec{K}}{\gamma}=\frac{\textsf{d}\vec{p}}{\textsf{d}t}}\). Dla składowej czasowej otrzymujemy \(\displaystyle{ \frac{\textsf{d}(\gamma mc^2)}{\textsf{d}t}=\vec{F}\cdot\vec{v}}\).

Mając I i II zasadę dynamiki + Noetherowskie zasady zachowania mamy już wszystko. I teraz pytanie do publiczności: w którym momencie pojawiła się konieczność rozważania masy zależnej od prędkości? W żadnym. Niestety jednak historia potoczyła się inaczej i niektórzy wpadli na "genialny" pomysł: jakbyśmy wprowadzili masę relatywistyczną \(\displaystyle{ m_{rel}=\gamma m}\) to wtedy wzór na pęd wyglądałby dokładnie jak w mechanice nierelatywistycznej. Super. Tylko musimy dopuścić masę zależną od układu odniesienia - w końcu \(\displaystyle{ \gamma}\) zależy od układu odniesienia, zatem to ile mamy kilogramów zależy od tego kto "patrzy" Używając masy relatywistycznej uzyskujemy piękne "uproszczenie": \(\displaystyle{ E=m_{rel} c^2}\). I co dalej? Nic. Ale przez to, że pęd się tak ładnie upraszcza sporo osób zaczęło traktować masę relatywistyczną jako "tę właściwą". No dobrze, popatrzmy dalej - wektor siły! Rozpiszmy:
\(\displaystyle{ \vec{F}=\frac{\textsf{d}\vec{p}}{\textsf{d}t}=\gamma m \vec{a}+\frac{\textsf{d}\gamma}{\textsf{d}t}m\vec{v}}\),
korzystając z tego, że:
\(\displaystyle{ \frac{\textsf{d}\gamma}{\textsf{d}t}=\frac{\vec{F}\cdot\vec{v}}{mc^2}}\)
otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \vec{F}=\frac{\textsf{d}\vec{p}}{\textsf{d}t}=\gamma m \vec{a}+\frac{\vec{F}\cdot\vec{v}}{c^2}\vec{v}}\).
Pojawia się zależność od prędkości, siła i przyspieszenie nie mają tego samego kierunku. Rozłóżmy siłę i przyspieszenie na składowe wzdłuż prędkości i poprzecznie do niej:
\(\displaystyle{ \vec{F}=\vec{F}_\perp+\vec{F}_\parallel\\
\vec{a}=\vec{a}_\perp+\vec{a}_\parallel}\).
Wstawiając to do powyższej zależności i robiąc matematyczne czary mary, którego przepisywać mi się nie chce (korzystamy tam z liniowej niezależności wektorów "podłużnych" i "poprzecznych") otrzymujemy zależności:
\(\displaystyle{ \vec{F}_\perp=\gamma m\vec{a}_\perp,\quad \vec{F}_\parallel=\gamma^3 m\vec{a}_\parallel}\).
\(\displaystyle{ \gamma m}\) to masa poprzeczna (pokrywa się z relatywistyczną), a \(\displaystyle{ \gamma^3m}\) to masa podłużna. I to jest to, co rozpatrywał Lorentz. Einstein też używał na początku tych pojęć. Jeśli traktujemy masę relatywistyczną aż tak serio, to równie serio musimy traktować masy poprzeczną i podłużną. Czekam, aż ktoś zacznie to robić, w szczególności Ty Fibik.

Na koniec tej części warto dodać, że \(\displaystyle{ E=\gamma mc^2}\) jest tylko szczególnym przypadkiem wzoru na energię, działającym tylko dla cząstek masywnych. Ogólny wzór wygląda następująco: \(\displaystyle{ E=\sqrt{(c\vec{p})^2+(mc^2)^2}}\) i działa zawsze. Warto przy tym przypomnieć co miał na ten temat do powiedzenia Fibik:

Fibik pisze: natomiast wzór typu:
\(\displaystyle{ E^2 = m^2+p^2}\), jest już tylko spekulacją, i do tego błędną,
bowiem ewidentnie sprzeczną z pomiarami.

Otóż Fibik tym zdaniem stwierdził, że najbardziej zgodna z doświadczeniem teoria jaką mamy, czyli elektrodynamika kwantowa, jest "ewidentnie sprzeczna z pomiarami". Szczególna teoria względności nie żyje 'sama sobie', jest podstawą do formułowania większości fizyki współczesnej. Wzór ten jest wbudowany w każdą relatywistyczną teorię pola, w tym te odnoszące największe sukcesy: elektrodynamikę kwantową i Model Standardowy. Twierdzenie, że jest nieprawdziwy jest "drastycznie błędną opinią" i negowaniem jednego z najbardziej podstawowych relatywistycznych faktów - wzór ten można znaleźć w każdej książce z kwantowej teorii pola i większości książek na temat STW.

Zacytuję teraz fragment ze wspomnianej wyżej książki Taylora:

Mechanika klasyczna, tom 2, John Taylor pisze:Istnieją w istocie dwie różne definicje masy w teorii względności; obie wydają się sensowne i obie mają swoich zwolenników. Definicja, którą przyjmę, odpowiada tzw. masie niezmienniczej i jest preferowana przez większość praktykujących fizyków. Druga definicja, odpowiadająca tzw. masie zależnej od prędkości, jest preferowana głównie przez popularyzatorów teorii względności, ponieważ w pierwszej chwili wydaje się, że dzięki niej łatwiej jest zrozumieć niektóre pojęcia. (...)
Niektórzy fizycy zapisują definicję dla relatywistycznego trójpędu, wprowadzając masę zależną od prędkości \(\displaystyle{ m_{zm}=\gamma(v)m}\). Używając tego pojęcia, możemy napisać \(\displaystyle{ \vec{p}=m_{zm}\vec{v}}\). Zaletą tego podejśccia jest to, że w ten sposób relatywistyczny pęd wygląda jak jego nierelatywistyczny odpowiednik. Niemniej jednak taki zapis ma kilka istotnych wad, które spowodowały, że większość praktykujących fizyków unika pojęcia zmiennej masy. Po pierwsze, zapisywanie definicji nowych wielkości w sposób podobny do definicji wcześniej wprowadzonych wielkości nie zawsze jest dobrym pomysłem, jeśli między tymi pojęciami występują istotne różnice. Po drugie, wprowadzając masę zależną od prędkości, wcale nie uzyskujemy pełnej analogii z mechaniką klasyczną. Na przykład nie jest prawdą, że relatywistyczna energia kinetyczna jest równa \(\displaystyle{ \frac{1}{2}m_{zm}v^2}\); nie jest też prawdą (w ogólnym przypadku), że \(\displaystyle{ \vec{F}=m_{zm}\vec{a}}\).

Oraz fragment z książki Szczególna teoria względności Andrzeja Szymachy:

Szczególna teoria względności, Andrzej Szymacha pisze:Można sobie uświadomić ogrom nieporozumień, jeśli weźmie się pod uwagę, że w większości popularnych książek lub artykułów o teorii względności wprowadza się pojęcie tzw. masy relatywistycznej. Ponieważ masą relatywistyczną nazywa się w nich całkowitą energię dzieloną przez \(\displaystyle{ c^2}\): \(\displaystyle{ m_{rel}=\frac{E}{c^2}}\), więc ze względu na prawo zachowania energii ma się też stale obowiązujące prawo zachowania "masy". Czasami według autorów tych publikacji masa zamienia się na energię, czasami jest równoważna energii itp., ale bywa również dokładnie zachowana. Ponieważ prawda jest jedna, a głupstw tysiące, trudno omówić wszystkie możliwe kombinacje nieporozumień. Radykalnie można im zapobiec, upierając się konsekwentnie przy nazywaniu masą tylko tej wielkości, która jest niezmienną charakterystyką ciała w określonym stanie wewnętrznym niezależnie od jego prędkości. Oprócz roli, jaką odgrywa w równaniach ruchu, masa ta jest także miarą energii wewnętrznej \(\displaystyle{ w=mc^2}\). Podstawowe znaczenie dla wszystkich procesów ma prawo zachowania energii całkowitej, w ramach którego jest możliwa zamiana energii wewnętrznej na kinetyczną (lub na odwrót). Towarzyszy temu zmiana sumy mas wszystkich cząstek obecnych na początku i na końcu procesu. I to wszystko co trzeba na ten temat wiedzieć. Żadnej energomasy, żadnej równoważności masy i energii, żadnej materializacji i dematerializacji, żadnego mistycyzmu w tym nie ma.

Einstein także nie był przychylny masie relatywistycznej:

Albert Einstein pisze:It is not good to introduce the concept of the mass \(\displaystyle{ M = m/\sqrt{1 - v^2/c^2}}\) of a moving body for which no clear definition can be given. It is better to introduce no other mass concept than the ’rest mass’ \(\displaystyle{ m}\). Instead of introducing \(\displaystyle{ M}\) it is better to mention the expression for the momentum and energy of a body in motion.

z uwagi na te dwie różne wersje 'masy', które wówczas się pojawiają automatycznie, czyli tym samym masa jest niejednoznaczna co rzekomo prowadzi do sprzeczności.

Nie wiem skąd ta konkluzja, ale w żaden sposób nie wynika to z tego co napisałem.

Jest to drastyczne błędna opinia

Bynajmniej. Mamy rok 2017, teoria względności jest już na świecie dość długo, przeorana została przez miliony fizyków na różne sposoby. Już dawno temu zostało przez społeczność fizyków (którą to społeczność reprezentuję i w imieniu której się wypowiadam) stwierdzone, że pojęcie masy relatywistycznej żadnego pożytku fizyce nie przynosi. Faktem jest, że jest wielkość tę można najczęściej znaleźć traktowaną jako "tę masę" w książkach starych, do tego uczących banalnych podstaw STW. W szkole średniej uczono mnie, że masa relatywistyczna to relikt przeszłości. Na studiach z STW miałem styczność na wielu wykładach. Na wykładzie z mechaniki I pojawił się tylko wzór, bez żadnej dyskusji. Na wykładzie z mechaniki klasycznej na 2 roku pojawiło się takie wyłożenie STW jakie zaprezentowałem wyżej. Docent Ajduk wyraźnie podkreślał, że masa relatywistyczna nie jest już używana przez fizyków zajmujących się fizyką. Używają jej osoby piszące książki popularnonaukowe i prowadzące wykłady z podstaw STW. Powtórzył dokładnie to samo rok później na ćwiczeniach z elektrodynamiki klasycznej. Dodał też, że w latach 80 zaprzestano używania tego pojęcia w podręcznikach (nie wiem na jakiej podstawie to stwierdził). Na wykładzie z relatywistycznej mechaniki kwantowej masa relatywistyczna nie pojawiła się ani razu. Tak samo na wykładzie z elektrodynamiki kwantowej i kwantowej teorii pola. Nie pojawiła się nawet na ćwiczeniach z cudownego przedmiotu "podstawy fizyki cząstek elementarnych" prowadzonego przez doświadczalników, a to głównie oni mają tendencję do traktowania masy relatywistycznej w taki sposób jak Ty. Nie wiem jak było na wykładach z OTW, bo mi się nie chciało chodzić. Przez te kilka lat bycia fizykiem stwierdzam, że jedynym miejscem w jakim się masa relatywistyczna pojawia "w praktyce" to zadania dla licealistów lub studentów studiów technicznych chodzących na kursy fizyki ogólnej. Tak jak pisał Taylor - praktykujący fizycy tego pojęcia nie używają. Fizycy będąc fizykami i mówiąc "masa" do fizyków mają na myśli lorentzowsko niezmienniczą wielkość daną wzorem: \(\displaystyle{ m=\frac{1}{c^2}\sqrt{E^2-c^2\vec{p}^2}}\), lub pierwiastkiem z wartości własnej pewnego operatora w kwantowej teorii pola. Masa relatywistyczna, by miała jakikolwiek większy i ogólniejszy sens zdefiniowana jest jako \(\displaystyle{ m_{rel}=\frac{E}{c^2}}\). Jako, że niemal wszyscy fizycy pracujący z teorią względności używają układu jednostek w którym \(\displaystyle{ c=1}\), mamy zależność \(\displaystyle{ m_{rel}=E}\). Masa relatywistyczna to dla fizyków synonim energii całkowitej. A skoro mamy tak dobrze znane słowo jak 'energia', po co używać innego?

albowiem wystarczy sobie to wyliczyć:
\(\displaystyle{ m = \gamma m_0}\)
przy takim fakcie jest jest oczywiste, że podczas zmian prędkości ciała (przyspieszania) należy uwzględnić dwa warianty:
składowa radialna prędkości ulega zmianie (podłużna) oraz składowa poprzeczna.

Nie wiem w jaki niby sposób z obliczenia skalarnej masy relatywistycznej wynika, że należy rozpatrywać składowe prędkości radialną i poprzeczną. Nie wiem nawet czym miałaby być składowa poprzeczna prędkości, wszak kierunek wzorcowy do którego odnoszą się przymiotniki "podłużna" i "poprzeczna" jest wyznaczony przez wektor prędkości. Zatem prędkość poprzeczna z definicji jest równa zeru.

Jest to zresztą od dawna praktycznie stwierdzone i pomierzone precyzyjnie w przeróżnych akceleratorach, cyklotronach, betatronach itd.

Stwierdzone owszem, ale tyczy się to masy relatywistycznej jako energii całkowitej, a nie "tej właściwej masy". Bezpośrednie pomiary masy opierają się na oddziaływaniach grawitacyjnych, i sorry bardzo, taki mamy klimat, masa zależna od prędkości tu nie przejdzie.

I nie muszę się nawet wysilać aby udowodnić poprawności teorii Lorentza, bowiem to zostało dawno temu zrobione:
http://www.mathpages.com/home/kmath635/kmath635.htm

Wysilić byś się mógł i chociaż sprawdził o czym piszesz, bo jak wyżej pisałem Lorentz rozpatrywał masy poprzeczną i podłużną, a nie masę relatywistyczną...
Słusznie autorzy piszą, że masa rozumiana jako masa spoczynkowa nie jest stała, bo zależy od wielu czynników. Tylko nie widzę, dlaczego z tego względu mielibyśmy traktować masę relatywistyczną jako tę właściwą masę. Wszystko o czym pisali można zrobić bez takiego podejścia, bo w gruncie rzeczy nie o fizykę chodzi (przynajmniej w większości przypadków) bo matematyka zostaje ta sama, lecz o interpretację. Stan na rok 2017 jest taki, że masa relatywistyczna to synonim energii całkowitej, a masa to masa spoczynkowa. Wszystko czego w obliczeniach potrzebujemy to zasad zachowania. Żadne masy zależne od prędkości potrzebne nam nie są.

Poza tym miło by było, jakbyś popierał się jakimiś sensownymi źródłami, z imieniem i nazwiskiem autorów, jakaś publikacja, jakaś książka (podpowiem nawet, że Feynman w swoich wykładach traktuje masę relatywistyczną jako "tę" masę mimo iż sam osobiście uważał inaczej; jest też książka Rindlera). Ja się podpieram konkretnymi pozycjami z konkretnymi autorami. [url=http://www.hysafe.org/science/KareemChin/PhysicsToday_v42_p31to36.pdf]Tu[/url] mam kolejny artykuł. W żadnej książce z dziedziny kwantowej teorii pola nie znalazłem nic o masie relatywistycznej. Z ciekawości zajrzałem też do "biblii" ogólnej teorii względności, czyli Gravitation Misnera, Wheelera i Thorna i też cisza. Ciekawe. Einstein gravity in a nutshell pana Zee - też cisza. Chyba tylko jedna książka z OTW z którą miałem styczność wspominała coś o masie relatywistycznej i to tylko w ramach przypomnienia STW, bo nigdzie dalej nie była ona używana. Ciekawe.

Powtarzam: nie istnieje żaden problem ze wzrostem masy w ramach klasycznej teorii Lorentza.

Problemy się pojawiły dopiero po wprowadzeniu STW, czyli one są w tym uproszczonym modelu, który sobie wyprodukował Einstein, bo opierając się na dodatkowych postulatach (intuicyjnych urojeniach amatora).

Masa wzrasta wraz z prędkością - zgodnie z Lorentzem, no i cześć - to jest fakt, pewny w 100% od ponad 100 lat.

A to że sobie ktoś zakłada (w matematyce!) jakieś tam skecze, np. w stylu: c = inv, a potem otrzymuje z tego fajerwerki nonsensów, no to już naprawdę nie moja wina.

Ty chyba w ogóle nie przeczytałeś co napisałem. Chyba nawet nie przeczytałeś ze zrozumieniem co sam Lorentz napisał. I znów lądujemy z tym, że fizycy się nie znają, a Fibik wie lepiej. Spisek i podrobione wyniki doświadczeń. Znów powtórzę co mówiłem Ci już wielokrotnie - to forum to nie miejsce na sianie takich nonsensów. Temat zamykam.