Matematyka.pl

Z równań Einsteina wynika, że każde ciało materialne, które ma masę spoczynkową i osiąga prędkość światła posiada masę nieskończoną. Jednak fotony nie mają masy spoczynkowej a i tak osiągają prędkość światła. Wyjaśnić dlaczego tak jest i obliczyć granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{v \to c} \frac{0}{ \sqrt{1- \frac{v^2}{c^2} } }}\).
To nie jest zadanie z książki dodam.

-- 6 maja 2015, o 18:11 --

Po prostu zastanawiam się nad pewnym problemem i chcę, żebyście wyjaśnili o co chodzi z tymi fotonami.-- 6 maja 2015, o 18:13 --Czy fotony są materialne?

Są materialne, po prostu nie posiadają masy spoczynkowej. Tyle.

Z równań Einsteina wynika, że każde ciało materialne, które ma masę spoczynkową i osiąga prędkość światła posiada masę nieskończoną.

Nie. Z STW wynika, że ciało o niezerowej masie nie może osiągnąć prędkości światła. Tę mogą mieć tylko cząstki bezmasowe. Nic więcej.

PS. Równania Einsteina to to nie są. Nazwa ta zarezerwowana jest do równań ogólnej teorii względności.

Co to jest masa urojona i masa ujemna?

Masa mająca wartości zespolone, dokładniej czysto urojone. Pojawia się w kwantowej teorii pola i teoriach strun (przy rozpatrywaniu reprezentacji grupy symetrii czasoprzestrzeni), hipotetyczne tachiony miałyby taką masę. Tylko od razu mówię, że wszystkie modele w których występują tachionowe pola są wewnętrznie niekonsystentne i nie ma możliwości brania ich pod uwagę jako odpowiadających rzeczywistości.

Czyżbym gdzieś już widział te pytania?

@hubot:

Z równań Einsteina wynika, że każde ciało materialne, które ma masę spoczynkową i osiąga prędkość światła posiada masę nieskończoną. Jednak fotony nie mają masy spoczynkowej a i tak osiągają prędkość światła. Wyjaśnić dlaczego tak jest i obliczyć granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{v \to c} \frac{0}{ \sqrt{1- \frac{v^2}{c^2} } }}\).
To nie jest zadanie z książki dodam.

To, że fotony w ruchu posiadają masę, umiemy zaobserwować. Oprócz tego wiemy (bo zaobserwowaliśmy), że obiekty posiadające prędkość przybierają na masie — dokładniej mówiąc, zwiększa im się ona o pewną krotność ich masy spoczynkowej. Spróbowaliśmy wyznaczyć, na drodze teoretycznej, jak bardzo. Wzór ten znalazł później potwierdzenie doświadczalne. Ma on tę własność, że gdyby ciała poruszały się z prędkością światła, musiałyby na masie przybrać nieskończenie. Dlatego przyjmujemy, że fotony masy spoczynkowej nie mają — nie zaobserwowaliśmy niczego, co by temu przeczyło (bo i nie zaobserwowaliśmy, i wydaje nam się nawet, że to niemożliwe, „stojącego” fotona), a takie podejście nie rozwala nam działającego wzoru.
A granica ta, rzecz jasna, jest równa zero. Jak zresztą każda granica tylu 0 razy coś określonego w otoczeniu punktu, w którym liczymy granicę.

Czy fotony są materialne?

Jak definiujesz materialność? Jeśli tak, jak „Słownik języka polskiego” PWN, tzn. „istniejący fizycznie”, to w sposób oczywisty takie są — w końcu fizyka się nimi interesuje. Jeśli, tak jak ja, bardziej intuicyjnie — „wchodzący w interakcje z materią bądź materię stanowiący” — to też.

Althorion pisze: To, że fotony w ruchu posiadają masę, umiemy zaobserwować.

No nie do końca, jeśli rozumieć masę tak jak się ją rozumie w STW i KTP

Oprócz tego wiemy (bo zaobserwowaliśmy), że obiekty posiadające prędkość przybierają na masie

Też nie do końca, od lat odchodzi się już od konceptu masy relatywistycznej bo powoduje on kłopoty. Przede wszystkim próby utrzymania tego pojęcia zmuszają do wprowadzenia masy 'podłużnej' i 'poprzecznej'. Masa to masa, wartość własna jednego z operatorów Casimira dla grupy Poincare'go. Innej masy w rozważaniach na temat cząstek nam nie potrzeba, no chyba, że wejdziemy w renormalizację A foton jest bezmasowy bo tego wymaga niezmienniczość cechowania elektrodynamiki, bez niej mieli byśmy problemy np. z normowaniem stanów pola fotonowego. To tak z teoretycznego punktu widzenia
A sam wzór na masę relatywistyczną to próba utrzymania 'starych' newtonowskich wzorów na pęd \(\displaystyle{ p=mv}\). Zamiast pisać \(\displaystyle{ p=\gamma mv}\) to włączyli czynnik Lorentza w masę.

AiDi, mnie uczono, że masa to miara „niechęci” ciała do zmiany swego przyspieszenia, która to, z jakiegoś niepojętego powodu, ma związek z siłą, którą nazywamy grawitacją. Przy takim, nader uproszczonym, podejściu pisanie o zaobserwowanym przyroście masy ma sens, o zaobserwowanej masie protonu jednak już znacznie mniejszy — bo tam obserwujemy co najwyżej związki grawitacyjne.
Dziękuję więc za uściślenie i poszerzenie mojej wiedzy w tym zakresie.

A przypadkiem wzór na pęd fotonu nie jest taki: \(\displaystyle{ p=\hbar k}\)? Przecież z tych wzorów z mechaniki relatywistycznej się nie wyliczy pędu fotonu bo wyjdzie zero. Dowód: \(\displaystyle{ p=mv=\frac{m_0v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{0c}{\sqrt{1-\frac{c^2}{c^2}}}=\frac{0}{0} \longrightarrow_{v \to \infty} 0}\).

To nie jest dowód, bo wzoru tego nie można stosować do cząstek bezmasowych.

Czym się różni wzór \(\displaystyle{ \psi\left(x,t\right)=A\exp\left[i\left(\omega t-kx\right)\right]}\) z książki Feynmana wykłady z fizyki od tego wzoru na funkcję falową z A.S. Dawydow \(\displaystyle{ \psi\left(x,t\right)=A\exp\left[i\left(kx-\omega t\right)\right]}\)? Czy przypadkiem wzory typu \(\displaystyle{ \lambda=\frac{h}{p}}\), \(\displaystyle{ p=\hbar k}\) to nie są bardziej z mechaniki kwantowej?

Różnią się znakiem w wykładniku, fizycznie to nie ma znaczenia.

Czy wzór \(\displaystyle{ \psi\left(x,t\right)=A\exp\left[i\left(kx-\omega t\right)\right]}\) to jest wzór na funkcję falową? Czy \(\displaystyle{ \hat H \big|\Psi(t)\rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \big|\Psi(t)\rangle}\) to jest równanie Schroedingera? Czy funkcja falowa jest rozwiązaniem równania Schroedingera?

1. Dla pewnego konkretnego przypadku bezspinowej cząstki swobodnej.
2. Można tak powiedzieć.
3. Z definicji.