Konkurs matematyka.pl

Każde miejsce w sieci rządzi się swoimi zasadami. Podobnie i my chcemy ułatwić wszystkim współpracę na forum :) Tutaj też informujemy Was o najnowszych zmianach.
Liga
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 168
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl

Konkurs matematyka.pl

Post autor: Liga »

Konkurs matematyka.pl


Niezmiernie miło jest nam poinformawać Was drodzy użytkownicy, iż przygotowaliśmy dla Was konkurs. Zadania rozwiązywać można w jednej z trzech kategorii: gimnazjalista, licealista, student.

Regulamin
  1. Konkurs trwa od 18:00 3.07.2009 do 23:59 10.07.2009
  2. W konkursie mogą brać udział tylko użytkownicy zarejestrowani na forum przed 3.07.2009.
  3. Rozwiązane zadania należy nadsyłać w formie prywatnej wiadomości do użytkownika Liga zaznaczając w temacie kategorię, w której użytkownik bierze udział.
  4. Każdy uczestnik może nadesłać rozwiązania zadań tylko do jednej kategorii i tylko jeden raz.
  5. Skala ocen jest identyczna jak na Olimpiadzie Matematycznej ().
  6. Zadania należy rozwiązywać samodzielnie; wszelkie wykryte próby oszustwa spowodują dyskwalifikację nieuczciwych uczestników
  7. O uzyskanych wynikach wszyscy uczestnicy zostaną powiadomieni nie później jak 4 dni od końcowej daty nadsyłania rozwiązań.
  8. Administratorzy forum nie mogą brać udziału w konkursie.
  9. Tzw. firmowe rozwiązania zadań nie zostaną opublikowane.
  10. W każdej z kategorii wyłonimy dwie osoby z najwyższymi wynikami (w przypadku wyników ex aequo o kolejności zadecyduje data nadesłania rozwiązań). Nagrodami są dwie książki ufundowane przez:
    [url=http://ksiegarnia.pwn.pl/]
    AU
    AU
    pwn_logo_trojkat.png (9.53 KiB) Przejrzano 202 razy
    [/url]
    • ,,Jak to rozwiązać?' G. Polya
      Książka należy do klasyki dydaktyki matematyki szkolnej. Pokazuje twórcze podejście do rozwiązywania zadań. Najciekawszą część stanowi Krótki słownik heurystyczny – zbiór dobrych rad autora.
      Obszerniejszy opis:    
    • ,,O rozwiązywaniu równań w liczbach całkowitych' W. Sierpiński
      Tematem książki są równania, których rozwiązań poszukuje się w zbiorze liczb całkowitych. Rozwiązane całościowo problemy autor zaopatrzył w informacje historyczne dotyczące szukania tych rozwiązań.
      Obszerniejszy opis:    

Zadania
Kategoria I - gimnazjalista
  1. Danych jest \(\displaystyle{ 15}\) liczb całkowitych większych od \(\displaystyle{ 1}\) i mniejszych od \(\displaystyle{ 2009}\), przy czym są one parami względnie pierwsze (nie mają żadnego wspólnego dzielnika pierwszego). Udowodnij, że wśród tych \(\displaystyle{ 15}\) liczb jest przynajmniej jedna liczba pierwsza.
  2. W trójkącie \(\displaystyle{ \Delta ABC}\) punkt \(\displaystyle{ D}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ AB}\), a punkt \(\displaystyle{ E}\) jest takim punktem należącym do odcinka \(\displaystyle{ BC}\), że: \(\displaystyle{ |BE|=2 \cdot |EC|}\) oraz \(\displaystyle{ \angle ADC = \angle BAE}\). Znajdź miarę kąta \(\displaystyle{ \angle BAC}\).
  3. Udowodnij, że dla nieujemnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a,b,c}\) prawdziwa jest nierówność: \(\displaystyle{ (a+b)(a+c) \ge 2 \sqrt{abc(a+b+c)}}\).
  4. Udowodnij, że suma \(\displaystyle{ 2000}\) kolejnych liczb całkowitych nie może być kwadratem liczby całkowitej.
  5. Dla jakich \(\displaystyle{ k}\) rzeczywistych układ równań:
    \(\displaystyle{ \begin{cases}x^2-y^2 = 0 \\ (x-k)^2+y^2=1 \end{cases}}\)
    ma dokładnie 3 pary rozwiązań w liczbach rzeczywistych \(\displaystyle{ (x,y)}\)?
Kategoria II - licealista
  1. Wyznacz wszystkie pary liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ (x,y)}\) spełniające warunki:
    \(\displaystyle{ \begin{cases} y^6+y^3+2x^2=\sqrt{xy-x^2y^2}\\4xy^3+y^3+\frac{1}{2} \geq 2x^2+\sqrt{1+(2x-y)^2}\end{cases}}\)
  2. Pewien stop składa się z miedzi i z cynku w stosunku \(\displaystyle{ 1:2}\). Drugi stop składa się z tych metali w stosunku \(\displaystyle{ 3:5}\). W jakim stosunku należy wziąć te dwa stopy, aby otrzymać trzeci stop zawierający miedź i cynk w stosunku \(\displaystyle{ 5:9}\) ?
  3. Dany jest ciąg liczbowy \(\displaystyle{ u_n}\): \(\displaystyle{ u_1=1, \ u_{n+1}=2u_n +7}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 1}\). Wyznacz największą liczbę naturalną \(\displaystyle{ n}\), dla której zachodzi nierówność: \(\displaystyle{ u_n <9001}\).
  4. Ze zbioru funkcji \(\displaystyle{ f: \{ 1, 2, ...., 25\} \mapsto \{ 1, 2, ..., 31 \}}\) wybrano losowo jedną funkcję. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń:
    1. wybrana funkcja \(\displaystyle{ f}\) będzie rosnąca, tj. \(\displaystyle{ f(a)>f(b)}\) dla \(\displaystyle{ a>b}\)
    2. maksimum funkcji \(\displaystyle{ f}\) wynosi \(\displaystyle{ 10}\)
    3. zbiór wartosci \(\displaystyle{ f}\) jest dwuelementowy
  5. Znajdź \(\displaystyle{ f : \mathbb{R} \backslash \{ 0 \} \mapsto \mathbb{R}}\) wiedząc, że dla dowolnego \(\displaystyle{ x \neq 0}\) zachodzi \(\displaystyle{ f(x)+4f \left( \tfrac{1}{x} \right) = 3x}\)
Kategoria III - student
  1. Niech \(\displaystyle{ 0 \le a \le 1}\). Znajdź wszystkie funkcje ciągłe \(\displaystyle{ f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}_+}\) spełniające trzy następujące warunki:
    \(\displaystyle{ \int_0^1 f(x) \; \mbox d x = 1, \; \int_0^1 x f(x) \; \mbox d x = a, \; \int_0^1 x^2 f(x) \; \mbox d x = a^2}\)
  2. Wyznacz ostatnią cyfrę liczby
    \(\displaystyle{ 23^{23^{23^{23}}}}\)
    w systemie dziesiętnym
  3. Niech dana będzie macierz \(\displaystyle{ A = (a_{ij})_{n \times n}}\) o rzeczywistych nieujemnych elementach takich, że:
    \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^n a_{ij} = 1 \quad (1 \le i \le n)}\)
    Udowodnij, że moduł żadnej wartości własnej macierzy \(\displaystyle{ A}\) nie jest większy niż \(\displaystyle{ 1}\).
  4. Udowodnij, że jeśli rząd elementu \(\displaystyle{ a}\) grupy abelowej \(\displaystyle{ A}\) jest względnie pierwszy z \(\displaystyle{ n}\), to równanie \(\displaystyle{ nx= a}\) ma rozwiązanie w \(\displaystyle{ A}\).
  5. Czy można skonstruować takie trzy kostki sześcienne, że \(\displaystyle{ P(A>B)>\tfrac{1}{2} \ \wedge \ P(B>C)>\tfrac{1}{2} \ \wedge \ P(C>A)>\tfrac{1}{2}}\),
    gdzie \(\displaystyle{ P(X>Y)}\) oznacza, że na kostce \(\displaystyle{ X}\) wypadnie większa liczba niż na kostce \(\displaystyle{ Y}\)? Podaj przykład lub wykaż, że nie jest to możliwe.
Liga
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 168
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl

Konkurs matematyka.pl

Post autor: Liga »

Uściślenie: w zadaniu 4 kategorii III mowa o skończonej grupie abelowej.
Liga
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 168
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl

Konkurs matematyka.pl

Post autor: Liga »

Sprawdzanie nadesłanych prac dobiegło końca. Dziękujemy bardzo za liczny udział w konkursie . Uwagi dotyczące wszelkich spraw związanych z konkursem nie pozostają oczywiście niezauważone i jest to dla nas cenne źródło wiedzy na przyszłość.
Poniżej lista wyników:
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{r|c|c|c|c|c|c} \multicolumn{7}{c}{Kategoria I} \\ \hline \hline \text{nick/data nadesłania} & Z1 & \text{Z2} & \text{Z3} & \text{Z4} & \text{Z5} & \text{Suma} \\ \hline \blue{\text{SchmudeJanusz}} & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 30 \\
\blue{\text{Swistak}} & 6 & 5 & 6 & 6 & 6 & 29 \\
\text{7 lipca 2009, 09:19} & 5 & 6 & 6 & 6 & 6 & 29 \\
\text{7 lipca 2009, 13:25} & 2 & 6 & 6 & 6 & 6 & 26 \\
\text{8 lipca 2009, 16:22} & 2 & 6 & 0 & 6 & 6 & 20 \\
\text{10 lipca 2009, 18:28} & 0 & 0 & 6 & 6 & 6 & 18 \\
\text{10 lipca 2009, 19:17} & 0 & 0 & 6 & 6 & 5 & 17 \\
\text{10 lipca 2009, 21:27} & 2 & 0 & 6 & 6 & 2 & 16 \\
\hline \hline
\end{tabular}}\)



\(\displaystyle{ \begin{tabular}{r|c|c|c|c|c|c} \multicolumn{7}{c}{Kategoria II} \\ \hline \hline \text{nick/data nadesłania} & \text{Z1} & \text{Z2} & \text{Z3} & \text{Z4} & \text{Z5} & \text{Suma} \\ \hline \blue{\text{taka\_jedna}} & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 30 \\
\blue{\text{Damianito}} & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 30 \\
\text{4 lipca 2009, 12:01} & 6 & 6 & 5 & 6 & 6 & 29 \\
\text{6 lipca 2009, 00:20} & 6 & 6 & 6 & 2 & 6 & 26 \\
\text{6 lipca 2009, 19:50} & 6 & 6 & 6 & 2 & 6 & 26 \\
\text{4 lipca 2009, 13:00} & 2 & 6 & 6 & 2 & 6 & 22 \\
\text{4 lipca 2009, 17:47} & 2 & 6 & 2 & 6 & 6 & 22 \\
\text{5 lipca 2009, 20:13} & 5 & 0 & 6 & 5 & 6 & 22 \\
\text{9 lipca 2009, 17:22} & 2 & 6 & 6 & 2 & 6 & 22 \\
\text{6 lipca 2009, 13:24} & 0 & 6 & 6 & 2 & 6 & 20 \\
\text{10 lipca 2009, 15:54} & 0 & 6 & 2 & 6 & 6 & 20 \\
\text{10 lipca 2009, 18:51} & 0 & 6 & 6 & 2 & 6 & 20 \\
\text{4 lipca 2009, 21:25} & 0 & 6 & 6 & 0 & 6 & 18 \\
\text{5 lipca 2009, 16:48} & 0 & 6 & 6 & 0 & 6 & 18 \\
\text{10 lipca 2009, 20:17} & 0 & 6 & 6 & 0 & 6 & 18 \\
\text{10 lipca 2009, 17:34} & 0 & 0 & 2 & 0 & 6 & 8 \\
\text{4 lipca 2009, 20:37} & 0 & 6 & 0 & 2 & 0 & 8 \\
\text{10 lipca 2009, 23:57} & 0 & 0 & 2 & 0 & 6 & 8 \\
\text{4 lipca 2009, 11:01} & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 6 \\
\text{7 lipca 2009, 20:51} & 0 & 0 & 6 & 0 & 0 & 6 \\
\text{10 lipca 2009, 18:05} & 0 & 0 & 6 & 0 & 0 & 6 \\
\hline \hline
\end{tabular}}\)



\(\displaystyle{ \begin{tabular}{r|c|c|c|c|c|c} \multicolumn{7}{c}{Kategoria III} \\ \hline \hline \text{nick/data nadesłania} & Z1 & \text{Z2} & \text{Z3} & \text{Z4} & \text{Z5} & \text{Suma} \\ \hline \blue{\text{Wuja Exul}} & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 30 \\
\blue{\text{max}} & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 30 \\
\text{7 lipca 2009, 22:49} & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 30 \\
\text{4 lipca 2009, 23:55} & 6 & 6 & 6 & 6 & 2 & 26 \\
\text{7 lipca 2009, 22:41} & 2 & 6 & 6 & 6 & 5 & 25 \\
\text{7 lipca 2009, 17:23} & 6 & 6 & 6 & 0 & 6 & 24 \\
\hline \hline
\end{tabular}}\)
Zwycięzcom serdecznie gratulujemy!
Zablokowany