Niezmiernie miło jest nam poinformawać Was drodzy użytkownicy, iż przygotowaliśmy dla Was drugą edycję konkursu. Zadania rozwiązywać można w jednej z trzech kategorii: gimnazjalista, licealista, otwarta.
Regulamin
- Konkurs trwa od 18:00 08.01.2011 do 23:59 06.02.2011
- W konkursie mogą brać udział tylko użytkownicy zarejestrowani na forum przed 08.01.2011.
- Rozwiązane zadania należy nadsyłać w formie prywatnej wiadomości do użytkownika Liga zaznaczając w temacie kategorię, w której użytkownik bierze udział.
- Każdy uczestnik może nadesłać rozwiązania zadań tylko do jednej kategorii i tylko jeden raz.
- Skala ocen jest identyczna jak na Olimpiadzie Matematycznej ().
- Zadania należy rozwiązywać samodzielnie; wszelkie wykryte próby oszustwa spowodują dyskwalifikację nieuczciwych uczestników
- O uzyskanych wynikach wszyscy uczestnicy zostaną powiadomieni nie później jak 14 dni od końcowej daty nadsyłania rozwiązań.
- Administratorzy forum nie mogą brać udziału w konkursie.
- Tzw. firmowe rozwiązania zadań nie zostaną opublikowane.
- W każdej z kategorii wyłonimy laureatów - cztery osoby z najwyższymi wynikami (w przypadku wyników ex aequo o kolejności zadecyduje data nadesłania rozwiązań). Nagrodami są książki ufundowane przez:
[url=http://ksiegarnia.pwn.pl/]Laureaci będą mogli wybrać po jednej książce z kategorii odpowiadającej kategorii zadaniowej, w kolejności od najlepszego wyniku: [/url]
- Kategoria I - gimnazjalista
- "Zobaczyć to czego nie widać czyli kultura matematyczna w praktyce", Kordos Marek, [url=http://ksiegarnia.pwn.pl/produkt/56763/zobaczyc-to-czego-nie-widac-czyli-kultura-matematyczna-w-praktyce.html]opis[/url].
- "Okruchy matematyki", Jarosław Górnicki, [url=http://ksiegarnia.pwn.pl/produkt/7577/okruchy-matematyki.html]opis[/url].
- "Orzeł czy reszka?", Hugo Steinhaus, [url=http://ksiegarnia.pwn.pl/produkt/34792/orzel-czy-reszka.html]opis[/url].
- "Logika popularna. Przystępny zarys logiki zdań", Andrzej Grzegorczyk, [url=http://ksiegarnia.pwn.pl/produkt/34793/logika-popularna.html]opis[/url].
- Kategoria II - licealista
- "Matematyka. Poradnik encyklopedyczny", Igor N. Bronsztejn, Konstantin A. Siemiendiajew, [url=http://ksiegarnia.pwn.pl/produkt/4058/matematyka-poradnik-encyklopedyczny.html]opis[/url].
- "Matematyka a fizyka", Krzysztof Maurin, [url=http://ksiegarnia.pwn.pl/produkt/34797/matematyka-a-fizyka.html]opis[/url].
- "Elementarna teoria liczb", Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, [url=http://ksiegarnia.pwn.pl/produkt/5241/elementarna-teoria-liczb.html]opis[/url].
- "Tajemnicza liczba i inne sekrety matematyki", Miś Bogdan, [url=http://ksiegarnia.pwn.pl/produkt/15785/tajemnicza-liczba-i-inne-sekrety-matematyki.html]opis[/url].
- Kategoria III - otwarta
- "Analiza na rozmaitościach", Michael Spivak, [url=http://ksiegarnia.pwn.pl/produkt/4562/analiza-na-rozmaitosciach.html]opis[/url].
- "Nowoczesne kompendium matematyki", Igor N. Bronsztejn, Konstantin A. Siemiendiajew, Gerhard Musiol, Heiner Mühlig, [url=http://ksiegarnia.pwn.pl/produkt/6641/nowoczesne-kompendium-matematyki.html]opis[/url].
- "Statystyka w zarządzaniu", Amir D. Aczel, [url=http://ksiegarnia.pwn.pl/produkt/1371/statystyka-w-zarzadzaniu.html]opis[/url].
- "Rachunek prawdopodobieństwa Statystyka matematyczna Procesy stochastyczne", Plucińska Agnieszka, Pluciński Edmund, [url=http://ksiegarnia.pwn.pl/produkt/32483/rachunek-prawdopodobienstwa-statystyka-matematyczna-procesy-stochastyczne.html]opis[/url].
Dodatkowo każdy z laureatów będzie mógł wybrać sobie koszulkę matematyka.pl z [url=http://matematyka.cupsell.pl/]listy koszulek[/url], ufundowanych przez właściciela forum, firmę
[url=http://netstel.pl/][/url] - Kategoria I - gimnazjalista
- Laureaci w kategoriach I i II przed otrzymaniem nagrody będą musieli potwierdzić swój status (odpowiednio uczeń gimnazjum, uczeń liceum) przesyłając np. skan legitymacji szkolnej przez Prywatną Wiadomość użytkownikowi [url=http://matematyka.pl/profiles/8570.htm]Liga[/url].
- Pozostałe kwestie zostaną rozstrzygnięte przez administrację forum.
Zadania
- Znaleźć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}}\) takie, że:
- \(\displaystyle{ f(\mathbb{R})= \langle 0, +\infty)}\)
- \(\displaystyle{ f(f(x))=f(x)}\) dla każdego \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\)
- \(\displaystyle{ f(-x)=f(x)}\) dla każdego \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\)
- Znajdź wszystkie trójki \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) liczb rzeczywistych, które spełniają układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z=0\\x^3+y^3+z^3=18\\ x^7+y^7+z^7=2058\end{cases}}\).
- Z wierzchołka \(\displaystyle{ A}\) kwadratu \(\displaystyle{ ABCD}\) zakreślono cyrklem łuk \(\displaystyle{ BD}\).
Wykaż, że dla dowolnego punktu \(\displaystyle{ P}\) tego łuku, jeśli \(\displaystyle{ Q}\) jest jego rzutem prostokątnym na przekątna \(\displaystyle{ BD}\), zaś \(\displaystyle{ R}\) jego rzutem prostokątnym na \(\displaystyle{ BC}\) i wreszcie \(\displaystyle{ S}\) jego rzutem prostokątnym na \(\displaystyle{ CD}\), to \(\displaystyle{ |PQ|^2=|PR| \cdot |PS|}\). - Pokaż, że istnieje takie \(\displaystyle{ t>0}\), że dla każdej czwórki liczb dodatnich \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) spełniających równość \(\displaystyle{ abcd=1}\) zachodzi następująca nierówność: \(\displaystyle{ \frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}+\frac{1}{1+d}>t}\).Czy zbiór dodatnich \(\displaystyle{ t}\), które spełniają powyższą nierówność, przyjmuje wartość największą? Jeśli tak, wskaż ją.
- Niech \(\displaystyle{ S(n)}\) oznacza sumę cyfr liczby \(\displaystyle{ n}\). Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ n>1}\) oraz \(\displaystyle{ n \neq 10}\), to istnieje dokładnie jedna liczba całkowita \(\displaystyle{ A \ge 2}\) taka, że: \(\displaystyle{ S(k)+S(A-k)=n}\) dla każdego całkowitego \(\displaystyle{ k}\) spełniającego nierówność: \(\displaystyle{ 0<k<A}\).
- Udowodnij, że dla pewnego \(\displaystyle{ c>0}\) nierówność: \(\displaystyle{ \left|\sqrt[3]{2} - \frac{m}{n}\right|>\frac{c}{n^3}}\) zachodzi dla wszystkich par liczb całkowitych \(\displaystyle{ m,n}\), przy czym \(\displaystyle{ n \ge 1}\).
- Niech \(\displaystyle{ f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}}\), \(\displaystyle{ f(0) \neq 0}\). Niech \(\displaystyle{ F(x)=f^n(x)}\) (\(\displaystyle{ n}\) - ustalona liczba całkowita, \(\displaystyle{ n \ge 3}\)), gdzie \(\displaystyle{ f^n(x)=\underbrace{f(f(\ldots(f(x))\ldots))}_{n}}\) (n-krotne złożenie funkcji \(\displaystyle{ f}\)). Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ F(0)=0}\), to \(\displaystyle{ F(x)=x}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\), dla których funkcja \(\displaystyle{ F}\) jest określona.
- Niech \(\displaystyle{ n>1}\) będzie liczbą naturalną nieparzystą i \(\displaystyle{ c_1, \ldots, c_n}\) będą dowolnymi liczbami całkowitymi. Dla permutacji \(\displaystyle{ a=(a_1, \ldots, a_n)}\) zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, \ldots, n \}}\) określa się \(\displaystyle{ S(a)=\sum_{i=1}^{n} c_i a_i}\). Wykazać, że istnieją permutacje \(\displaystyle{ a \neq b}\) takie, że \(\displaystyle{ n!}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ S(a)-S(b)}\).
- W przestrzeni dane są trzy wzajemnie prostopadłe półproste, wychodzące z jednego punktu. Udowodnić, że dowolny trójkąt ostrokątny można umieścić tak, że każdy z jego wierzchołków leży na innej półprostej.
- Mając dany wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\), skończony ciąg różnych liczb \(\displaystyle{ a_1, \ldots, a_k}\) nazywamy cyklem długości \(\displaystyle{ k}\) dla \(\displaystyle{ P}\) jeśli \(\displaystyle{ P(a_i) = a_{i+1}}\) dla \(\displaystyle{ 1 \le i \le k-1}\) i \(\displaystyle{ P(a_k) = a_1}\). Jeśli wszystkie liczby \(\displaystyle{ a_i}\) są całkowite, to cykl nazywamy cyklem całkowitym.
Udowodnij lub obal tezę, że wszystkie wielomiany o współczynnikach całkowitych mają cykl całkowity długości \(\displaystyle{ \ge 2}\).
- Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie funkcją rzeczywistą, dwukrotnie różniczkowalną, spełniającą następującą zależność:
\(\displaystyle{ f(x) + f''(x) = - x g(x) f'(x)}\)gdzie \(\displaystyle{ \forall x \in \mathbb{R} : g(x) \ge 0}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ |f(x)|}\) jest ograniczona.
- Niech będzie dana \(\displaystyle{ n}\)-elementowa próbka z rozkładu \(\displaystyle{ N (\mu , 1)}\) o nieznanym parametrze \(\displaystyle{ \mu}\). Zamiast próbki zapisywane jest jedynie, czy wylosowany element jest większy czy mniejszy od zera. Znajdź estymator największego prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ \mu}\).
- Dla każdej macierzy kwadratowej \(\displaystyle{ A}\) możemy zdefiniować \(\displaystyle{ \sin A}\) jako: \(\displaystyle{ \sin A = \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} A^{2n+1}}\).
Udowodnij lub obal: istnieje macierz \(\displaystyle{ A}\) typu \(\displaystyle{ 2\times 2}\) określona nad zbiorem \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), taka że: \(\displaystyle{ \sin A = \begin{pmatrix} 1 & 2011\\ 0 & 1\end{pmatrix}}\). - Niech \(\displaystyle{ (G,+)}\) będzie grupą abelową i niech \(\displaystyle{ \mathcal{I} \subseteq P(G)}\) będzie właściwym, jednorodnym ideałem podzbiorów \(\displaystyle{ G}\), niezmienniczym na działania grupowe, czyli:
- \(\displaystyle{ (\forall A\in\mathcal{I} )(\forall B \subseteq A)B\in \mathcal{I}}\)
- \(\displaystyle{ (\forall A,B\in\mathcal{I} )A\cup B\in\mathcal{I}}\)
- \(\displaystyle{ G\notin\mathcal{I}}\)
- \(\displaystyle{ (\forall g\in G)\{g\}\in\mathcal{I}}\)
- \(\displaystyle{ (\forall A\in\mathcal{I} )(\forall g\in G)A+g=\{a+g:a\in A\}\in\mathcal{I}}\)
- \(\displaystyle{ (\forall A\in\mathcal{I} )-A=\{-a:a\in A\}\in\mathcal{I}}\)
- Niech \(\displaystyle{ (X_{i1}, \ldots , X_{in_i}), \ i \in \left\{ 1, 2\right\}}\) będą dwoma niezależnymi próbkami losowymi z rozkładów \(\displaystyle{ N\left( \mu_i, \sigma^2 \right)}\), gdzie \(\displaystyle{ n_i \ge 2}\) oraz parametry \(\displaystyle{ \mu_i}\) oraz \(\displaystyle{ \sigma}\) są nieznane. Dla hipotezy o współczynniku istotności \(\displaystyle{ \alpha}\):
\(\displaystyle{ H_0: \ \mu_1=\mu_2 \\
H_1: \ \mu_1 \ne \mu_2}\)
znajdź najmocniejszy estymator jednostajnie nieobciążony oraz wyznacz jego moc.