Matematyka.pl

Nie mogę się uporać z ekstremum. Czy ktoś mógłby mi wskazać gdzie zrobiłam błąd?

\(\displaystyle{ y= e^{ \frac{x}{x-1}}\)

\(\displaystyle{ D \in R-{1}}\)

\(\displaystyle{ [e^{ \frac{x}{x-1}}]' = -e^{ \frac{x}{x-1}} \cdot \frac{1}{(x-1)^2}}\)

\(\displaystyle{ -e^{ \frac{x}{x-1}} \cdot \frac{1}{(x-1)^2} =0}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{(x-1)^2} =0}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{x^2-2x+1} =0}\)

\(\displaystyle{ x^2-2x+1=0}\)

\(\displaystyle{ x_{0} =1}\)

W tym miejscu:
\(\displaystyle{ \frac{1}{(x-1)^2}=0}\)
powinnaś zakończyć szukanie ekstremum, gdyż równanie to nie ma rozwiązań, a co za tym idzie funkcja nie ma ekstremum lokalnego.

Tak myślałam, że końcówki tak nie można rozwiązać ..

Co za tym idzie, że przedziałów monotoniczności też nie mogę wyznaczyć?

Dlaczego? Do przedziałów monotoniczności nie jest potrzebne istnienie/nieistnienie ekstremum, tam jedynie badasz znak pochodnej.

Nakahed90 pisze:Dlaczego? Do przedziałów monotoniczności nie jest potrzebne istnienie/nieistnienie ekstremum, tam jedynie badasz znak pochodnej.

A skąd mogę wiedzieć gdzie pochodna jest dodatnia a gdzie ujemna ? Skoro równania nie da się rozwiązać?

Nie jesteś w stanie rozwiązać tylko równania \(\displaystyle{ f'(x)=0}\), ale to w żaden sposób nie wpływa na badanie znaku.
W tym zadaniu nawet nie trzeba nierówności rozwiązywać. Spróbuj najpierw określić znak każdego z czynników.

Nakahed90 pisze:Nie jesteś w stanie rozwiązać tylko równania \(\displaystyle{ f'(x)=0}\), ale to w żaden sposób nie wpływa na badanie znaku.
W tym zadaniu nawet nie trzeba nierówności rozwiązywać. Spróbuj najpierw określić znak każdego z czynników.

W całej swojej dziedzinie jest malejąca?

To jest zbyt śmiałe określenie. Na każdym z przedziałów \(\displaystyle{ (-\infty,1)}\) oraz \(\displaystyle{ (1,\infty)}\) jest malejąca.

Okej, dzięki