Znajdź rodziny krzywych ortogonalnych

piotrek2008 · Post autor: **piotrek2008** » 2 kwie 2010, o 23:18

Znajdź rodziny krzywych ortogonalnych

\(\displaystyle{ t ^{2}+ \frac{1}{2}x ^{2}=a ^{2}}\) gdzie a parametr

Czy ktoś może mi podać sposób ( przepis) jak rozwiązywać tego typu zadania.

Kamil_B · Post autor: **Kamil_B** » 3 kwie 2010, o 00:32

Zakładam, że przez \(\displaystyle{ x}\) rozumiemy tutaj \(\displaystyle{ x(t)}\).
Najpierw znajdziemy równanie różniczkowe tej rodziny krzywych.
W tym celu różniczkujemy obustronnie po \(\displaystyle{ t}\)\(\displaystyle{ }\), pamiętając o tym że \(\displaystyle{ x=x(t)}\)\(\displaystyle{ }\):

\(\displaystyle{ 2t+x \cdot x'=0}\)

Teraz wystarczy w miejsce \(\displaystyle{ x'}\) podstawić \(\displaystyle{ \frac{1}{x'}}\) (bo interesuje nas rodzina krzywych ortogonalnych) :

\(\displaystyle{ 2t+\frac{x}{x'}=0}\)

czyli

\(\displaystyle{ 2t+\frac{x \cdot dt}{dx}=0}\)

Pozostaje już tylko rozwiązać to równanie różniczkowe