\(\displaystyle{ f(x)= \frac{x}{\arctg(x)} }\)
\(\displaystyle{ \arctg(x)\neq0 \Rightarrow x\neq0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0}f(x)=1}\) brak as. pionowych
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty} \frac{f(x)}{x} = \frac{2}{\pi} = a}\)
\(\displaystyle{ b=\lim_{ x\to\infty } (f(x)-ax)=\lim_{ x\to\infty } ( \frac{x}{\arctg(x)}- \frac{2}{\pi} x )}\)
Zatrzymałem się na tym momencie i nie wiem jak dalej to liczyć, wytłumaczy ktoś?
Znajdź asymptoty funkcji
Znajdź asymptoty funkcji
Ostatnio zmieniony 16 sty 2023, o 19:37 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Znajdź asymptoty funkcji
Współczynnik kierunkowy asymptoty ukośnej - lewostronnej
\(\displaystyle{ a_{-} = \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{x}{\arctg(x)}}{x} = \lim_{x\to -\infty} \frac{1}{\arctg (x)} = \frac{1}{-\frac{\pi}{2}} = -\frac{2}{\pi}.}\)
Wyrazy wolne \(\displaystyle{ b_{+} \ \ b_{-} }\)
\(\displaystyle{ b_{+} = \lim_{x\to \infty} \left(\frac{x}{\arctg(x)} - \frac{2}{\pi}x \right) = \lim_{x\to \infty} \left(\frac{\pi x -2x\cdot \arctg(x)}{\pi \arctg(x)}\right) = \frac{1}{\pi} \lim_{x\to \infty} \left( \frac{\pi x - 2x\cdot\arctg(x)}{\arctg(x)} \right) = \frac{1}{\pi}\frac{ \lim_{x\to \infty}(\pi x- 2x\arctg(x))}{\lim_{x\to \infty} \arctg(x)} = \frac{1}{\pi}\cdot \frac{c}{d} \ \ (*) }\)
\(\displaystyle{ c = \lim_{x\to \infty} ( \pi \cdot x -2x\cdot \arctg(x)) = \lim_{x\to \infty} x(\pi - 2\arctg(x)) = \lim_{x\to \infty} \frac{\pi - 2\arctg(x)}{\frac{1}{x}} = \left [\frac{0}{0} \right] \stackrel{H} = \lim_{x\to \infty} \frac{\frac{-2}{1+x^2} }{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x\to \infty} \frac{2x^2}{1+x^2}= 2.}\)
\(\displaystyle{ d = \lim_{x\to \infty} \arctg(x) = \frac{\pi}{2}. }\)
\(\displaystyle{ (*) }\)
\(\displaystyle{ b_{+} = \frac{1}{\pi}\cdot \frac{2}{\frac{\pi}{2}} = \frac{4}{\pi^2}.}\)
\(\displaystyle{ b_{-} = \lim_{x\to -\infty} \left(\frac{x}{\arctg(x)} + \frac{2}{\pi}x\right) = \lim_{x\to -\infty} \left(\frac{\pi x +2x\cdot \arctg(x)}{\pi \arctg(x)}\right) = \frac{1}{\pi} \lim_{x\to -\infty} \left( \frac{\pi x +2x\cdot\arctg(x)}{\arctg(x)} \right) = \frac{1}{\pi}\frac{ \lim_{x\to -\infty}(\pi x+ 2x\cdot \arctg(x))}{\lim_{x\to -\infty} \arctg(x)} = \frac{1}{\pi}\cdot \frac{c'}{d'} \ \ (**) }\)
\(\displaystyle{ c' = \lim_{x\to -\infty} ( \pi \cdot x +2x\cdot \arctg(x)) = \lim_{x\to -\infty} x(\pi + 2\arctg(x)) = \lim_{x\to -\infty} \frac{\pi + 2\arctg(x)}{\frac{1}{x}} = \left [\frac{0}{0} \right] \stackrel{H} = \lim_{x\to -\infty} \frac{\frac{2}{1+x^2}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x\to -\infty} -\frac{2x^2}{1+x^2}= -2.}\)
\(\displaystyle{ d' = \lim_{x\to -\infty} \arctg(x) = -\frac{\pi}{2}.}\)
\(\displaystyle{ (**) }\)
\(\displaystyle{ b_{-} = \frac{1}{\pi}\cdot \frac{-2}{\frac{-\pi}{2}} = \frac{4}{\pi^2}.}\)
Wykres funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \frac{x}{\arctg(x)} }\) ma dwie asymptoty ukośne - jednostronne
-prawostronną \(\displaystyle{ y = \frac{2}{\pi}x + \frac{4}{\pi^2}, }\)
- lewostronną \(\displaystyle{ y = -\frac{2}{\pi} x + \frac{4}{\pi^2}.}\)
\(\displaystyle{ a_{-} = \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{x}{\arctg(x)}}{x} = \lim_{x\to -\infty} \frac{1}{\arctg (x)} = \frac{1}{-\frac{\pi}{2}} = -\frac{2}{\pi}.}\)
Wyrazy wolne \(\displaystyle{ b_{+} \ \ b_{-} }\)
\(\displaystyle{ b_{+} = \lim_{x\to \infty} \left(\frac{x}{\arctg(x)} - \frac{2}{\pi}x \right) = \lim_{x\to \infty} \left(\frac{\pi x -2x\cdot \arctg(x)}{\pi \arctg(x)}\right) = \frac{1}{\pi} \lim_{x\to \infty} \left( \frac{\pi x - 2x\cdot\arctg(x)}{\arctg(x)} \right) = \frac{1}{\pi}\frac{ \lim_{x\to \infty}(\pi x- 2x\arctg(x))}{\lim_{x\to \infty} \arctg(x)} = \frac{1}{\pi}\cdot \frac{c}{d} \ \ (*) }\)
\(\displaystyle{ c = \lim_{x\to \infty} ( \pi \cdot x -2x\cdot \arctg(x)) = \lim_{x\to \infty} x(\pi - 2\arctg(x)) = \lim_{x\to \infty} \frac{\pi - 2\arctg(x)}{\frac{1}{x}} = \left [\frac{0}{0} \right] \stackrel{H} = \lim_{x\to \infty} \frac{\frac{-2}{1+x^2} }{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x\to \infty} \frac{2x^2}{1+x^2}= 2.}\)
\(\displaystyle{ d = \lim_{x\to \infty} \arctg(x) = \frac{\pi}{2}. }\)
\(\displaystyle{ (*) }\)
\(\displaystyle{ b_{+} = \frac{1}{\pi}\cdot \frac{2}{\frac{\pi}{2}} = \frac{4}{\pi^2}.}\)
\(\displaystyle{ b_{-} = \lim_{x\to -\infty} \left(\frac{x}{\arctg(x)} + \frac{2}{\pi}x\right) = \lim_{x\to -\infty} \left(\frac{\pi x +2x\cdot \arctg(x)}{\pi \arctg(x)}\right) = \frac{1}{\pi} \lim_{x\to -\infty} \left( \frac{\pi x +2x\cdot\arctg(x)}{\arctg(x)} \right) = \frac{1}{\pi}\frac{ \lim_{x\to -\infty}(\pi x+ 2x\cdot \arctg(x))}{\lim_{x\to -\infty} \arctg(x)} = \frac{1}{\pi}\cdot \frac{c'}{d'} \ \ (**) }\)
\(\displaystyle{ c' = \lim_{x\to -\infty} ( \pi \cdot x +2x\cdot \arctg(x)) = \lim_{x\to -\infty} x(\pi + 2\arctg(x)) = \lim_{x\to -\infty} \frac{\pi + 2\arctg(x)}{\frac{1}{x}} = \left [\frac{0}{0} \right] \stackrel{H} = \lim_{x\to -\infty} \frac{\frac{2}{1+x^2}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x\to -\infty} -\frac{2x^2}{1+x^2}= -2.}\)
\(\displaystyle{ d' = \lim_{x\to -\infty} \arctg(x) = -\frac{\pi}{2}.}\)
\(\displaystyle{ (**) }\)
\(\displaystyle{ b_{-} = \frac{1}{\pi}\cdot \frac{-2}{\frac{-\pi}{2}} = \frac{4}{\pi^2}.}\)
Wykres funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \frac{x}{\arctg(x)} }\) ma dwie asymptoty ukośne - jednostronne
-prawostronną \(\displaystyle{ y = \frac{2}{\pi}x + \frac{4}{\pi^2}, }\)
- lewostronną \(\displaystyle{ y = -\frac{2}{\pi} x + \frac{4}{\pi^2}.}\)