Matematyka.pl

Hej potrzebuję pomocy z tym zadaniem:

Równanie \(\displaystyle{ \frac{dP}{dt}=P(aP-b)}\), gdzie a, b są dodatnimi stałymi, jest znanym modelem populacji. Jak będzie się zmieniać dynamika wzrostu populacji P w miarę wzrostu czasu t?

\(\displaystyle{ \frac{dP}{dt}=P(aP-b), \ \ a > 0, \ \ b>0. }\)

Rozdzielamy zmienne:

\(\displaystyle{ \frac{dP}{P(aP -b)} = dt. }\)

Całkujemy obustronnie:

\(\displaystyle{ \int \frac{dP}{P(aP -b)} = \int dt \ \ (1) }\)

Rozkładamy funkcję podcałkową na sumę ułamków prostych

\(\displaystyle{ \frac{1}{P(aP -b)} = \frac{A}{P} + \frac{B}{aP -b} \ \ (2)}\)

\(\displaystyle{ 1 \equiv A(aP -b) + BP }\)

\(\displaystyle{ 1 \equiv (A a + B)P -Ab }\)

Stąd

\(\displaystyle{ \begin{cases} Aa +B = 0 \\ -Ab = 1 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ A = -\frac{1}{b}, \ \ -\frac{1}{b}a +B = 0, \ \ B = \frac{a}{b} \ \ (3)}\)

Podstawiamy \(\displaystyle{ (3) }\) do \(\displaystyle{ (2) }\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{P(aP -b)} = -\frac{1}{b}\cdot \frac{1}{P} + \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{aP-b}. }\)


\(\displaystyle{ \int \frac{dP}{P(aP -b)} = -\frac{1}{b}\int \frac{dP}{P} + \frac{a}{b}\int \frac{dP}{aP -b},}\)

\(\displaystyle{ -\frac{1}{b}\cdot \ln(P) + \frac{a}{b}\cdot \frac{1}{a}\ln(aP -b) = t + S, \ \ S - \ \ stała. }\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{b} \ln\left(\frac{aP-b}{P}\right) = \frac{1}{b} \ln \left( a - \frac{b}{P}\right) = t + S }\)

\(\displaystyle{ \ln\left( a + \frac{b}{P} \right) = bt + Sb }\)

\(\displaystyle{ a - \frac{b}{P} = C \cdot e^{bt}, \ \ C = e^{Sb}.}\)

Stąd

\(\displaystyle{ P(t) = \frac{b}{a - Ce^{bt}}, \ \ C>0. }\)


Otrzymaliśmy rozwiązanie ogólne jednego z odmian równania populacji Verhulsta.

Wrast ze wzrostem \(\displaystyle{ t }\) populacja maleje.

janusz47 pisze: ↑29 cze 2023, o 18:44 Wrast ze wzrostem \(\displaystyle{ t }\) populacja maleje.

To nie prawda. Przynajmniej nie zawsze. Wystarczy na równanie spojrzeć jakościowo. Funkcja \(\displaystyle{ f(P)=P(aP-b)}\) bywa dodatnia oraz ujemna więc jako, że \(\displaystyle{ P'=f(P)}\) to populacja może rosnąć i maleć; dwa konkurencyjne układy to pokazują:

\(\displaystyle{ a>0 , \ \ b>0 ,\ \ C >0, }\)

\(\displaystyle{ \lim_{t \to \infty} P(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{b}{a - Ce^{bt}} = 0. }\)

\(\displaystyle{ \int \frac{1}{P}dP = \ln(P), \ \ P>0.}\)

Równanie różniczkowe - wyjściowe powinno mieć postać:

\(\displaystyle{ \frac{dP}{dt} = P(a - bP) , \ \ a, b >0.}\)

lub

\(\displaystyle{ \frac{dP}{dt} = P(b - aP) , \ \ a, b >0.}\) to nie ma znaczenia.

Chyba kto zapewnił ?

Wynika to z założeń równania Verhlousta.

Patrz na przykład: Urszula Foryś matematyka w biologii. WNT Warszawa 2005.