Matematyka.pl

Wyznaczyć (i zaznaczyć na rysunku) dziedzinę naturalną funkcji

Takie polecenie prawdopodobnie będę miał na kolokwium, problem w tym że nie wiem jak się do tego zabrać, nie znam nawet schematu na rozwiązywanie.
Jak się do tego zabrać?
\(\displaystyle{ z= \sqrt{16-y ^{2} } +\ln \left( -x+3y+12 \right)}\)

z tego co mi się wydaje trzeba wypisać założenia

z tego przykladu
\(\displaystyle{ 16-y ^{2} \ge 0}\)
\(\displaystyle{ \left( -x+3y+12 \right) \ge 0}\)
dobrze? i co dalej?

Założenia są dobre.
Pierwsze równanie spełniają liczby naturalne \(\displaystyle{ y \in \left\{ 1,2,3,4\right\}}\)
Teraz po kolei podstawiasz każdy igrek do drugiego równania i wypisujesz dla niego możliwe iksy.
Np. \(\displaystyle{ (y=1 \wedge x \in N)\Rightarrow \left\ (-x+15 \ge 0 \Leftrightarrow \left\( x \in \left\{ 1,2,3,...,15\right\}\right\ )}\). Czyli dostałeś zbiór punktów:\(\displaystyle{ \left( 1,1\right), \left( 1,2\right),\left( 1,3\right),...,\left( 1,15\right)}\)
Następne zbiory punktów o naturalnych współrzędnych dostaniesz dla pozostałych igreków. Wszystkie te punkty to naturalna dziedzina funkcji.Potem te wszystkie punkty zaznaczasz w układzie współrzędnych.

Dziedzina naturalna to coś innego niż przekrój dziedziny ze zbiorem liczb naturalnych: normalnie dziedzina jest elementem definicji funkcji, ale jeżeli została pominięta, to należy wskazać maksymalny podzbiór \(\displaystyle{ \mathbb R^2}\), dla którego wzór ma sens.

A zatem, \(\displaystyle{ |y| \le 4}\) i \(\displaystyle{ x < 12 + 3y}\), co wypadałoby jeszcze przekształcić.

Masz rację, źle napisałam.

Martingale pisze:
A zatem, \(\displaystyle{ |y| \le 4}\) i \(\displaystyle{ x < 12 + 3y}\), co wypadałoby jeszcze przekształcić.

ale jak bardziej można to przekształcić ?

Pierwszą nierówność zapisz jako \(\displaystyle{ y \in \left[ -4,4\right]}\). Druga bez zmian.

i wystarczy taki rysunek ?

Nie (a dlaczego \(\displaystyle{ x}\) ?). W układzie współrzędnych rysujesz poziomy pas \(\displaystyle{ -4 \le y \le 4}\) oraz prostą \(\displaystyle{ y= \frac{1}{3}x-4}\). Zakreślasz obszar nad prostą należący do pasa. Krawędzie pasa też należą do dziedziny.

a to : \(\displaystyle{ y= \frac{1}{3}x-4}\) skąd ?

W założeniach powinno być \(\displaystyle{ \left( -x+3y+12 \right) > 0}\) a nie \(\displaystyle{ \left( -x+3y+12 \right) \ge 0}\)

a co z tą prostą? jak to wyznaczyć?

Gdziemojekonie pisze:a to : \(\displaystyle{ y= \frac{1}{3}x-4}\) skąd ?

Wyznaczyłam \(\displaystyle{ y}\) z nierówności.

kropka+ pisze:

Gdziemojekonie pisze:a to : \(\displaystyle{ y= \frac{1}{3}x-4}\) skąd ?

Wyznaczyłam \(\displaystyle{ y}\) z nierówności.

nie umiem, mogłabyś jakoś krok po kroku?

masz \(\displaystyle{ \left( -x+3y+12 \right) > 0}\) i chcesz mieć po jednej stronie gołego igreka. więc przerzucasz wszystko na prawo oprócz \(\displaystyle{ 3y}\) i dzielisz obustronnie przez \(\displaystyle{ 3}\)

kropka+ pisze:Nie (a dlaczego \(\displaystyle{ x}\) ?). W układzie współrzędnych rysujesz poziomy pas \(\displaystyle{ -4 \le y \le 4}\) oraz prostą \(\displaystyle{ y= \frac{1}{3}x-4}\). Zakreślasz obszar nad prostą należący do pasa. Krawędzie pasa też należą do dziedziny.

dlaczego nad prostą a nie pod prostą zakreslam ?

rozumiem żeby wyznaczyć prosta muszę zrobić tabelke x y a wykres bedzie wygladal tak ?

i co w koncu zakreślić? nad tą przerywaną linią y=4 ? a z lewej czy z prawej?