Matematyka.pl

Wyznacz ekstrema niewłaściwe funkcji:

\(\displaystyle{ f (x, y) = x^{2} \cdot \left( x^{2} + y^{2} + 6x - 4y + 4\right) }\)

Jak się za to zabrać? Wiem tylko ze ekstrema niewlasciwe mamy gdy z pierwszych pochodnych wyjdzie nam ze jedna wspolrzedna jest nieoznaczona, ale potem nie wiem jak dobrze to zaznaczyc na rysunku, i jak odczytac rozwiazania. Serdecznie prosze o pomoc

Dodano po 46 sekundach:
Serdecznie przepraszam moderacje forum, jesli zdazyloby sie ze zle uzylbym LatExa.

Jeśli ustalisz jakiś \(x\ne0\) i spojrzysz na to jako na funkcję od \(y\), to masz funkcję typu \(g_x(y)=a(y-2)^2+b\), gdzie \(a>0\). Taka funkcja ma jedyne ekstremum dla \(y=2\). Jeśli teraz spojrzysz na funkcję z ustalonym \(y=2\), to zobaczysz \(h_2(x)=x^3(x+6)\) Taka funkcja ma swoje jedyne ekstremum w punkcie \(x=-\frac92\).

Zatem oprócz punktów \((0,y)\), na które jeszcze nie patrzyliśmy, jedynym kandydatem na ekstremum jest \(\left(-\frac92,2\right)\). Nietrudno zauważyć, że jest to minimum właściwe, gdyż w otoczeniu: \((-6,0)\times\mathbb{R}\), wszystkie pozostałe punkty dają większe wartości. Dla takich punktów mamy bowiem:
\(f(x,y)=x^2(y-2)^2+x^3(x+6)\ge x^3(x+6)= -3^3 \cdot \left(\frac{-x}{3}\right)^3\cdot (x+6)\ge-3^3\cdot\left(\frac{3\cdot(-x/3) + (x+6)}4\right)^4 = \left(-\frac{9}{2}\right)^3\cdot\frac32=f\left(-\frac92,2\right)\),
przy czym równości zachodzą odpowiednio gdy \(y=2\) oraz \((-x/3) = (x+6)\). Druga nierówność wzięła się z nierówności między średnią geometryczną i arytmetyczną. Zresztą, domyślam się, że tę część już masz zrobioną innymi metodami.

Dalej trzeba zobaczyć, co się dzieje w otoczeniu prostej \(x=0\). Wartość funkcji na tej prostej jest równa \(0\). A jak uważasz, jakie wartości są w otoczeniu tej prostej? Dodatnie czy ujemne?

3a174ad9764fefcb pisze: ↑26 sie 2022, o 10:56 Dalej trzeba zobaczyć, co się dzieje w otoczeniu prostej \(x=0\). Wartość funkcji na tej prostej jest równa \(0\). A jak uważasz, jakie wartości są w otoczeniu tej prostej? Dodatnie czy ujemne?

Chodzi o to ze dla \(\displaystyle{ x = 0 \wedge y > 0}\) bedziemy mieli wartosci dodatnie, a dla \(\displaystyle{ x = 0 \wedge y < 0}\) wartosci ujemne

P.S. Czy sa jakies materialy w ktorych moge sie dowiedziec o ekstremach niewlasciwych? Szukalem zarowno w jezyku polskim i angielskim, i nie moglem na zadne trafic D: .

jirapa pisze: ↑26 sie 2022, o 11:44 Chodzi o to ze dla x = 0 \(\displaystyle{ \wedge }\) y> 0 bedziemy mieli wartosci dodatnie, a dla x = 0 \(\displaystyle{ \wedge }\) y< 0 wartosci ujemne

Chcesz powiedzieć, że na przykład \(f(0,1)>0\), a \(f(0,-1)<0\)? Śmiem wątpić.

Czy potrafisz narysować zbiór: \(\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x^2(x^2+y^2+6x-4y+4)=0\}\)? Podpowiem, że w drugim czynniku można wydzielić wyrażenia \((x+3)^2\) i \((y-2)^2\).

Czyli mam narysowac parabole, oraz okrag. I co dalej?

Nie wiem, o jaką parabolę chodzi. Równanie \(x^2=0\) wyznacza prostą, a \(x^2+y^2+6x-4y+4=0\) okrąg. Jeśli już masz taki rysunek, to czy potrafisz na nim zaznaczyć, gdzie funkcja \(f\) ma wartości dodatnie, a gdzie ujemne?

Rozumiem ze \(\displaystyle{ f}\) bedzie miala wartosci dodatnie wtedy kiedy \(\displaystyle{ x>0}\) oraz kiedy \(\displaystyle{ (x+3)^2 + (y-2)^2 -9 >0}\). Tak?

Ja bym powiedział, że \(f\) jest dodatnia, gdy \((x+3)^2+(y-2)^2-9>0\) i \(x\ne0\). Zatem jeśli weźmiesz jakiś punkt ze współrzędną \(x=0\), na przykład \((0,1)\), to jest w tym punkcie ekstremum czy nie? Czy w małym otoczeniu tego punktu funkcja przyjmuje ujemne wartości?

Teraz to juz calkiem sie pogubilam D: .Mozna by bylo prosic o jakas wskazowke na rysunku? I dlaczego nie bierzemy czesci wspolnej jakby z tych dwoch czesci funkcji? (x^2 i tego okregu)

Iloczyn dwóch czynników jest dodatni wtedy gdy oba są dodatnie albo oba ujemne. Wyrażenie \(x^2\) jest dodatnie dla wszystkich \(x\ne0\). Wyrażenie \((x+3)^2+(y-2)^2-9\) jest ujemne wewnątrz koła o środku w punkcie \((-3,2)\) i promieniu \(3\) oraz dodatnie na zewnątrz tego koła. Łącznie otrzymujemy taki rysunek:

A co w takim razie z pkt (0,2)? Teorytycznie wychodzi mi tam pkt Ekstremum wlasciwe, ale z Hesjanu wynika mi ze jest to pkt nieokreslony. Czy ten pkt ten mam zawrzec w mininimum niewlasciwym?

A czy istnieje takie otoczenie punktu \((0,2)\), w którym \(f(x,y)\ge f(0,2)\)? Jeśli nie, to nie jest to żadne minimum.