Wypukłość funkcji
-
malwinka1058
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 2 razy
Wypukłość funkcji
Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją wypukłą na \(\displaystyle{ (0,+\infty)}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+} f(x)=0}\), to funkcja \(\displaystyle{ \frac{f(x)}{x} }\) jest niemalejąca na \(\displaystyle{ (0,+\infty).}\)
Ostatnio zmieniony 8 cze 2022, o 01:22 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.
Powód: Interpunkcja.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Wypukłość funkcji
Rozpatrzmy funkcję
\(\displaystyle{ g(t)=\begin{cases}0 \text{ dla }t=0\\f(t) \text{ dla }t>0\end{cases}}\). Funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest wypukła w \(\displaystyle{ [0,+\infty)}\) (dlaczego?). Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x>y>0}\). Z wypukłości \(\displaystyle{ g}\) w \(\displaystyle{ [0,+\infty)}\) mamy w szczególności
\(\displaystyle{ \frac{y}{x}g(x)+\frac{x-y}{x}g(0)\ge g\left(\frac{y}{x}\cdot x+\frac{x-y}{x}\cdot 0\right)}\), tj.
\(\displaystyle{ \frac y x g(x)\ge g(y)\\\frac{g(x)}{x}\ge \frac{g(y)}{y}\\\frac{f(x)}{x}\ge \frac{f(y)}{y}}\),
c.n.d.
\(\displaystyle{ g(t)=\begin{cases}0 \text{ dla }t=0\\f(t) \text{ dla }t>0\end{cases}}\). Funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest wypukła w \(\displaystyle{ [0,+\infty)}\) (dlaczego?). Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x>y>0}\). Z wypukłości \(\displaystyle{ g}\) w \(\displaystyle{ [0,+\infty)}\) mamy w szczególności
\(\displaystyle{ \frac{y}{x}g(x)+\frac{x-y}{x}g(0)\ge g\left(\frac{y}{x}\cdot x+\frac{x-y}{x}\cdot 0\right)}\), tj.
\(\displaystyle{ \frac y x g(x)\ge g(y)\\\frac{g(x)}{x}\ge \frac{g(y)}{y}\\\frac{f(x)}{x}\ge \frac{f(y)}{y}}\),
c.n.d.