Załóżmy, że \(\displaystyle{ f: \mathbb{R} ^{n} \rightarrow \mathbb{R}}\) spełnia nierówność \(\displaystyle{ |f(x)| \le |x|^{2}}\). Pokaż, że \(\displaystyle{ f}\) jest różniczkowalna w punkcie 0.
Proszę o pomoc w rozwiązaniu
Wykazać różniczkowalność w punkcie
-
yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Wykazać różniczkowalność w punkcie
Wskazówka będąca prawie całym rozwiązaniem:
\(\displaystyle{ \frac{|f(h)-f(0)|}{|h|}\leq \frac{|f(h)|+|f(0)|}{|h|}\leq \frac{|h|^2}{|h|}}\)
\(\displaystyle{ \frac{|f(h)-f(0)|}{|h|}\leq \frac{|f(h)|+|f(0)|}{|h|}\leq \frac{|h|^2}{|h|}}\)
-
addmir
- Użytkownik
- Posty: 210
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: sprzed monitora
- Podziękował: 53 razy
- Pomógł: 23 razy
Wykazać różniczkowalność w punkcie
Czyli zgodnie z definicją, którą podałęm tutaj:
\(\displaystyle{ 0 \le \frac{|f(0+h)-f(0)-f'(0)(h)|}{|h|} \le \frac{|h|^{2} + |f'(0)(h)|}{|h|}}\)
Weźmy teraz odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ f'(0): \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}; f'(0)(h) = 0}\)
Wtedy \(\displaystyle{ 0 \le \frac{|f(0+h)-f(0)-f'(0)(h)|}{|h|} \le |h|; \lim_{ h\to 0 } |h|=0}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \lim_{ h\to 0 } \frac{|f(0+h)-f(0)-f'(0)(h)|}{|h|} =0}\), czyli funkcja f jest różniczkowalna
Zgadza się?
\(\displaystyle{ 0 \le \frac{|f(0+h)-f(0)-f'(0)(h)|}{|h|} \le \frac{|h|^{2} + |f'(0)(h)|}{|h|}}\)
Weźmy teraz odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ f'(0): \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}; f'(0)(h) = 0}\)
Wtedy \(\displaystyle{ 0 \le \frac{|f(0+h)-f(0)-f'(0)(h)|}{|h|} \le |h|; \lim_{ h\to 0 } |h|=0}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \lim_{ h\to 0 } \frac{|f(0+h)-f(0)-f'(0)(h)|}{|h|} =0}\), czyli funkcja f jest różniczkowalna
Zgadza się?