Wlasność eksponenty
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11415
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
-
Kartezjusz
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Wlasność eksponenty
Funkcja `f(x)=\exp(x^2)+x-\exp(x)` spełnia \(\displaystyle{ f(0)=f'(0)=0}\) i \(\displaystyle{ f''(x)=\exp(x^2)(4x^2+2)-\exp(x)=\exp(x)\left(\exp(x^2-x)(4x^2+2)-1\right)>0}\),
bo \(\displaystyle{ \exp(x^2-x)(4x^2+2)\ge 2\exp(-1/4)>1}\).
`f` jest zatem wypukła, a oś OX podpiera ją od dołu - stąd wynik.
bo \(\displaystyle{ \exp(x^2-x)(4x^2+2)\ge 2\exp(-1/4)>1}\).
`f` jest zatem wypukła, a oś OX podpiera ją od dołu - stąd wynik.
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11415
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
-
Hassgesang
- Użytkownik
- Posty: 206
- Rejestracja: 26 mar 2012, o 20:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdynia
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 17 razy
Re: Wlasność eksponenty
Dla \(\displaystyle{ x \ge 1}\) mamy \(\displaystyle{ x^2 \ge x}\), więc \(\displaystyle{ \exp(x^2) \ge \exp x}\).
Dla \(\displaystyle{ 0 \le x \le 1}\) mamy \(\displaystyle{ x^2 \le x}\), więc
\(\displaystyle{ \exp x = 1 + x + \sum_{k=2}^\infty \frac{x^k}{k!} \le 1 + x + \sum_{k=2}^\infty \frac{x^2}{2^{k-1}} = 1 + x + x^2 \le x + \exp(x^2).}\)
Dla ujemnych iksów korzystamy z podobnej nierówności, co pod koniec poprzedniego przypadku:
\(\displaystyle{ \exp(x^2) + x \ge 1 + x + \frac{x^2}{2} = \frac{1 + (1+x)^2}{2} \ge \exp x}\).
Dla \(\displaystyle{ 0 \le x \le 1}\) mamy \(\displaystyle{ x^2 \le x}\), więc
\(\displaystyle{ \exp x = 1 + x + \sum_{k=2}^\infty \frac{x^k}{k!} \le 1 + x + \sum_{k=2}^\infty \frac{x^2}{2^{k-1}} = 1 + x + x^2 \le x + \exp(x^2).}\)
Dla ujemnych iksów korzystamy z podobnej nierówności, co pod koniec poprzedniego przypadku:
\(\displaystyle{ \exp(x^2) + x \ge 1 + x + \frac{x^2}{2} = \frac{1 + (1+x)^2}{2} \ge \exp x}\).