udowodnij wzór... Taylor ?

spic_14 · Post autor: **spic_14** » 24 lis 2010, o 16:51

mam problem z udowodnieniem takiego wzoru:
\(\displaystyle{ arctgx=arcsin( \frac{2x}{1-x^2} ) , x \in (-1,1)}\)
podejrzewam że to trzeba zrobić ze wzoru Taylora, ale to sa tylko podejrzenia ;p
pomógłby ktos ?

Lorek · Post autor: **Lorek** » 24 lis 2010, o 17:13

Rozważ funkcję \(\displaystyle{ f(x)=\arctan x-\arcsin \frac{2x}{1-x^2}}\) i sprawdź jaka jest jej pochodna.

Chwila, czy te funkcje na pewno takie powinny być?

spic_14 · Post autor: **spic_14** » 24 lis 2010, o 19:18

niby dobrze.... tak jest w zbiorku...
no dobra ale co mi da wyznaczenie pochodnej tej różnicy ?? co ona bedzie oznaczać w tym przypadku ?

Lorek · Post autor: **Lorek** » 24 lis 2010, o 19:34

W tym przypadku nic, bo równość z zadania nie jest prawdziwa.

spic_14 · Post autor: **spic_14** » 24 lis 2010, o 21:35

a przypuśćmy że równość jest prawdziwa (cos tam zmienimy i bedzie ok) .. wtedy nie trzeba obliczyc i porównać jeszcze reszt ze wzoru taylora dla poszczególnych arcusów ?? czy pochodna wystaczy ???
z góry dzieki za odp

Lorek · Post autor: **Lorek** » 24 lis 2010, o 22:33

Wystarczy pochodna, weź sobie np. taką równość (tym razem na pewno prawdziwą)
\(\displaystyle{ \arctan x=\arccot \frac{1}{x}}\)
która jest równoważna takiej:
\(\displaystyle{ \arctan x-\arccot \frac{1}{x}=0}\)
no to teraz jak sobie weźmiemy funkcję \(\displaystyle{ h(x)=\arctan x-\arccot \frac{1}{x}}\)
to nasze zadanie będzie polegało na pokazaniu, że \(\displaystyle{ h(x)=0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x}\) z dziedziny. W tym celu liczymy pochodną \(\displaystyle{ h'(x)}\), coś zauważamy i wyciągamy z tego wnioski.

spic_14 · Post autor: **spic_14** » 24 lis 2010, o 23:43

aha, spoko ;] juz wszystko jasne
dzięki Lorek