Matematyka.pl

Mam do udowodnienia
\(\displaystyle{ \log (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}}\) dla \(\displaystyle{ x>-1}\)
Wiem że wynika to z wzoru taylora i wiem jakby to udowodnić np. dla\(\displaystyle{ x \ge 0}\)
Stosując tą metodę.
... -x-fracx33
Jednak ona w sposób oczywisty zawodzi bo punkt \(\displaystyle{ \log (0)}\) jest nie zdefiniowany.
Zastawiałem się czy nie można jakoś zbadać znaku reszty we wzorze talyora , jednak szczerze nie mam pojęcia jak można by to zrobić.

Dwie sprawy

1) Popraw pls równość na nierówność w treści zadania
2) Dlaczego boli nas \(\displaystyle{ \log (0)}\), skoro dla \(\displaystyle{ x=0}\) dostajemy \(\displaystyle{ \log (1)= 0}\) ?

Z jakiegoś powodu nie mogę edytować tekstu ale chodziło mi
\(\displaystyle{ log (1+x)<x-frac{x^2}{2}+frac{x^3}{3}}\) dla \(\displaystyle{ x>-1}\)

kolegasafeta pisze: 2) Dlaczego boli nas \(\displaystyle{ log (0)}\), skoro dla \(\displaystyle{ x=0}\) dostajemy \(\displaystyle{ log (1)= 0}\) ?

No bo rozważamy przedział \(\displaystyle{ x>-1}\)? I jakby dla \(\displaystyle{ x=-1, log(1+x)=log(0)}\)
Jakbym miał nie równość w nie innym przedziale np. \(\displaystyle{ xin [0,infty)}\) to byłoby łatwej bo sposób, polegający wyznaczaniu jednego punktu, a potem badaniu znaku pochodnej, czyli badaniu czy funkcja jest rosnąca w danym przedziale by działał.
Podobnie jak tu chciałem liczyć
437504.htm

Dla \(\displaystyle{ t\ge 0}\) jest
\(\displaystyle{ t^3+1\ge 1}\), równoważnie
\(\displaystyle{ t^2-t+1\ge \frac{1}{1+t}}\)
z równością tylko dla \(\displaystyle{ t=0}\),
całkujemy tę nierówność w granicach od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ x}\) (\(\displaystyle{ x>0}\)) i mamy
\(\displaystyle{ \frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x\ge \log(1+x)}\),
a równość nie zajdzie, gdyż całkowaliśmy dodatnie i ciągłe funkcje, które są równe tylko w jednym punkcie.
Dla \(\displaystyle{ -1<t\le 0}\) jest
\(\displaystyle{ t^3+1\le 1\\ t^2-t+1\le \frac{1}{1+t}}\),
całkujemy to w granicach od \(\displaystyle{ x}\) do \(\displaystyle{ 0}\) (\(\displaystyle{ x}\) należy do przedziału \(\displaystyle{ (-1,0)}\)) i mamy
\(\displaystyle{ -\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-x\le -\log(1+x)}\),
a równość nie zajdzie z takich samych powodów, jak poprzednio. Przenosimy na drugą stronę i mamy tezę.

A jak nie znasz całek, to napisz sobie resztę w postaci Lagrange'a odpowiedniego rzędu, a pomożemy w jej oszacowaniu.