twierdzenie o wartości średniej

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
wikusi290
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 24 sty 2022, o 11:07
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 1 raz

twierdzenie o wartości średniej

Post autor: wikusi290 »

Mamy funkcję \(\displaystyle{ f:\left\langle a,b\right\rangle \rightarrow \RR}\), która jest różniczkowalna na przedziale \(\displaystyle{ \left( a,b\right) }\) oraz spełnia równanie \(\displaystyle{ f ^{2}(a)-a ^{2} = f^{2}(b)-b^{2}}\). Musimy wykazać, że \(\displaystyle{ f’(c)\cdot f(c)=c}\)
Więc przekształciłam to równanie na \(\displaystyle{ \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \cdot \frac{f(b)+f(a)}{b+a}=0 }\) Z twierdzenia Lagrange’a wiemy, że pierwszy składnik naszego wyrażenia jest równe \(\displaystyle{ f’(c)}\), ale jak udowodnić, że \(\displaystyle{ f(c)= \frac{f(b)+f(a)}{b+a} }\)?
Z góry dziękuje za pomoc.
Ostatnio zmieniony 6 kwie 2022, o 18:00 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: twierdzenie o wartości średniej

Post autor: Dasio11 »

W ten sposób raczej się nie da, ale wystarczy zastosować twierdzenie Rolle'a do funkcji \(\displaystyle{ g(x) = f(x)^2 - x^2}\).
wikusi290
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 24 sty 2022, o 11:07
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 1 raz

Re: twierdzenie o wartości średniej

Post autor: wikusi290 »

nie bardzo rozumiem w jaki sposób. Mogę prosić o jakąś wskazówkę?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34124
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: twierdzenie o wartości średniej

Post autor: Jan Kraszewski »

W sposób bezpośredni. Znasz tw. Rolle'a?

JK
wikusi290
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 24 sty 2022, o 11:07
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 1 raz

Re: twierdzenie o wartości średniej

Post autor: wikusi290 »

Mniej więcej kojarzę, czyli jeżeli \(\displaystyle{ f(a)=f(b)}\) to istnieje takie c, należące do przedziału \(\displaystyle{ (a,b)}\), że \(\displaystyle{ f’(c)=0}\). Nie wiem czy konkretnie o to chodziło. W takim razie w moim przypadku to by było, że \(\displaystyle{ f(a)=f ^{2}(a)-a}\)?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34124
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: twierdzenie o wartości średniej

Post autor: Jan Kraszewski »

wikusi290 pisze: 7 kwie 2022, o 01:56 Mniej więcej kojarzę, czyli jeżeli \(\displaystyle{ f(a)=f(b)}\) to istnieje takie c, należące do przedziału \(\displaystyle{ (a,b)}\), że \(\displaystyle{ f’(c)=0}\). Nie wiem czy konkretnie o to chodziło.
Tak.
wikusi290 pisze: 7 kwie 2022, o 01:56W takim razie w moim przypadku to by było, że \(\displaystyle{ f(a)=f ^{2}(a)-a}\)?
Zdecydowanie nie. Mylisz znaczki. Masz zastosować tw. Rolle'a do funkcji \(\displaystyle{ g(x) = f(x)^2 - x^2}\). Czyli najpierw sprawdzić, czy spełnione jest założenie \(\displaystyle{ g(a)=g(b)}\), potem policzyć pochodną \(\displaystyle{ g'(x)}\) i na końcu wyciągnąć wniosek.

JK
ODPOWIEDZ